数字信号处理笔记04：Z变换

m0_46521579

8281人浏览 · 2022-08-17 15:27:02

m0_46521579 · 2022-08-17 15:27:02 发布

一、Z变换的定义

$X(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

$x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz$

二、Z变换的收敛域

$z = re^{jw}$

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] r^{-n} e^{-jwn}$

$|X(z)| = \left | \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] r^{-n} e^{-jwn} \right | \\ \leq \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left | x[n] r^{-n} \right | \cdot \left| e^{-jwn} \right| \\= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left | x[n] r^{-n} \right | < \infty$

1. 有限长序列

有限长序列，序列区间 $N_1 \leq n \leq N_2$ 非零

	序列	收敛域	零极点图
$N_2 < 0$		$0 \leq \|z\| < +\infty$
$N_1 \geq 0$		$0 < \|z\| \leq +\infty$
$N_1 < 0, N_2 \geq 0$		$0 < \|z\| < +\infty$

2. 无限长序列

	序列
$n \geq 0$		$\|z\| > R_{x}^{-}$
$n < 0$		$0 \leq \|z\| < R_x^{+}$
$-\infty \leq n \leq +\infty$		$R_x^{-} < \|z\| < R_{x}^{+}$ $\phi$

序列

$n \geq 0$

$|z| > R_{x}^{-}$

$n < 0$

$0 \leq |z| < R_x^{+}$

$-\infty \leq n \leq +\infty$

$R_x^{-} < |z| < R_{x}^{+}$

$\phi$

右边序列

$x[n] = a^nu[n]$

$X(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a^n z^{-n} = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}$

$|az^{-1}| < 1 \Rightarrow |z| > |a|$

左边序列

$x[n] = -a^n u[-n-1]$

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}a^n z^{-n} = - a^{-1}z \frac{1}{1-a^{-1}z} = \frac{z}{z-a}$

$|a^{-1}z| < 1 \Rightarrow |z| < |a|$

三、Z变换的性质和定理


	$x[n]$	$X(z)$	$R_x$
	$y[n]$	$Y(z)$	$R_y$
	$h[n]$	$H(z)$	$R_h$
线性	$ax[n] + by[n]$	$aX[z] + bY[z]$	包含 $R_x \bigcap R_y$
时域移位	$x[n-n_d]$	$z^{-n_d} X(z)$
指数序列相乘	$z_0^nx[n]$	$X \left( \frac{z}{z_0} \right )$	$\|z_0\| R_x$
微分	$nx[n]$	$-z \frac{dX(z)}{dz}$	$R_x$
共轭	$x^*[n]$	$X^(z^)$	$R_x$
时间倒置共轭	$x^*[-n]$	$X^\left( \frac{1}{z^} \right )$	$\frac{1}{R_x}$
卷积	$x[n] \otimes h[n]$	$X(z) H(z)$	包含 $R_x \bigcap R_h$
初值	$x[n] = x[n] u[n] \Rightarrow x[0] = \lim_{z \rightarrow \infty} X(z)$

四、Z的反变换

1. 观察法

2. 部分分式展开法

$X(z) = \frac{z^2}{(z-0.95)(z-1.05)} \\ = \frac{1}{(1-0.95z^{-1})(1-1.05z^{-1})} \\ = \frac{A_1}{1-0.95z^{-1}} + \frac{A_2}{1-1.05z^{-1}}$

$A_1 = (1-0.95z^{-1})X(z)|_{z = 0.95} = -9.5$

$A_2 = (1-1.05z^{-1})X(z)|_{z=1.05} = 10.5$

$X(z) = \frac{-9.5}{1-0.95z^{-1}} + \frac{10.5}{1-1.05z^{-1}} = \frac{-9.5z}{z-0.95} + \frac{10.5z}{z-1.05}$

当 $|z| < 0.95$ 时， $x[n] = 9.5 \times 0.95^nu[-n-1] - 10.5 \times 1.05^n u[-n-1]$

当 $0.95 < |z| < 1.05$ 时， $x[n] = -9.5 \times 0.95^n u[n] - 10.5 \times 1.05^n u[-n-1]$

当 $|z| > 1.05$ 时， $x[n] = -9.5 \times 0.95^n u[n] + 10.5 \times 1.05^n u[n]$

3. 幂级数展开法

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