两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导

MornHus

14463人浏览 · 2022-12-23 12:02:05

MornHus · 2022-12-23 12:02:05 发布

啥也不说，咱们先上公式：

$\sin \left ( \alpha \pm \beta \right )= \sin\alpha \cos\beta\pm \cos\alpha \sin\beta$

$\cos \left ( \alpha \pm \beta \right )= \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin \beta$

$\tan \left ( \alpha \pm \beta \right )= \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta }{1\mp \tan\alpha \tan\beta }$

乍一看，这啥呀这是！不过别紧张，任何公式都是可以推导的，为了方便我们先从余弦公式开始推：

两角和与差的余弦公式

推导过程：

得到这个公式：

$\cos \left ( \alpha \pm \beta \right )= \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin \beta$

公式助记：coco sinsin，符号异号。

接下来就简单了很多。

两角和与差的正弦公式

推导过程涉及诱导公式：

$\sin \left ( \alpha +\beta \right )=\cos ( \frac{\pi }{2}-(\alpha+\beta))=\cos((\frac{\pi}{2}-\alpha)-\beta)=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\beta+\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

将β替换成-β：

$\sin \left ( \alpha -\beta \right )=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

公式助记：sinco cosin，符号同号。

两角和与差的正切公式

这里的推导涉及到弦切互化思想：

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{ \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin \beta}=\frac{ \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} {\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\frac{ \sin\alpha \sin \beta}{\cos\alpha\cos\beta}}=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)}= \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

公式助记：上和下积，上同下异。

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