前言

对于角色动画，目前的技术主要包括这两种方式：基于运动学模拟的动画，和基于动力学模拟、即基于物理模拟的动画。第一种方式的应用相当广泛，我们接触的游戏大部分都采用了基于运动学的方式去实现动画，这种方式性能优秀，便于实现，然而却缺少了许多真实性。基于物理模拟的方式来实现动画，对性能的要求比较高，且实现起来比较复杂，优点是交互效果更真实。对人体的肌肉骨骼进行模拟，属于物理模拟的动画实现。

肌肉的模拟较为复杂，涉及到生物力学这门交叉学科的内容。目前较为通用的肌肉模拟的模型是希尔模型(Hill model)。接下来我会根据一篇2013年的TOG论文对肌肉模型的模拟进行介绍。

本篇博客参考自《Flexible Muscle-Based Locomotion for Bipedal Creatures》。

肌肉骨骼模型

希尔模型将肌肉表示成三元素结构，它由下列要素组成：

• 一个收缩单元(contractile element, CE)，表示根据肌肉激活状态收缩的肌肉纤维，这个单元可以产生主动力。
• 一个并行弹性单元(parallel elastic element, PEE)，表示肌肉纤维周围的被动弹性组织，这个单元可以产生被动力。
• 一个串行弹性单元(parallel elastic element, SEE)，代表连接肌肉和骨骼的肌腱，这个单元可以产生被动力。
  

CE产生的力$F_{CE}$，取决于肌肉的恒定最大等距力$F_{max}$、肌肉激活$a$、肌肉纤维的长度$L_{CE}$，以及收缩速度$V_{CE}$：
$$\begin{array}{r}{F}_{CE}=a{F}_{max}{f}_L(L_{CE})f_V(V_{CE})\end{array}$$
其中，$f_L$表示力与肌肉长度之间的关系，$f_V$表示力与当前收缩速度之间的关系，下图即为这两个函数：

弹性元件PEE和SEE产生的被动力$F_{PEE}$和$F_{SEE}$根据其长度可以建模为非线性弹簧：
$$\begin{array}{rl}{F}_{SEE}& =f_{SEE}(L_M-L_{CE})\\ F_{PEE}& =f_{PEE}(L_{CE})\end{array}$$
其中$f_{SEE}$和$f_{PEE}$是非线性的力-长度关系，$L_M$为肌肉的总长度。

由于SEE与CE和PEE串联在一起，因此总肌肉力$F_M$服从力平衡方程：
$$\begin{array}{r}{F}_M=F_{CE}+F_{PEE}=F_{SEE}\end{array}$$
SEE的初始化长度为其最优长度，$L_{CE}^{opt}$。结合肌腱的松弛长度$L_{SEE}^{slack}$，可以定义肌肉的休息长度$L_M^{rest}$:
$$\begin{array}{r}{L}_M^{rest}=L_{SEE}^{slack}+L_{CE}^{opt}\end{array}$$
在实际进行模拟的时候，输入参数为激活状态$a$以及肌肉的总长度$L_M$。

激活状态的动态更新

肌肉的激活状态$a$是一个相对缓慢的电化学过程的结果，该过程基于控制系统输出的神经兴奋信号$u$。这个过程称为激活动力学，其模型为：
$$\begin{array}{r}\frac{\partial a}{\partial t}=c_a(a-u)\end{array}$$
其中$c_a$是恒定的激活和失活速率。

肌肉几何以及肌肉与骨骼的相互作用

骨骼和肌肉具有双向的作用：肌肉施加改变骨骼姿势的力量，而骨骼姿势决定肌肉的长度$L_M$，进而影响收缩动力。整个肌肉的路径是由它的肌腱附着在骨头上的位置、肌肉环绕的骨性标志以及随时间变化的肌肉跨越的关节决定的。在原文的模型中，将肌肉路径定义为一组线段。这个模型是一种简化，具有高性能的优势，并且省略了对肌肉的几何形状建模的需要。如下图，长方体代表着肌肉附着的骨骼，红色连线代表着对肌肉的简化：

任何肌肉$M$​的路径都是由$n$​个附着点数组定义的，[{b1,p1}...,{bn,pn}]\left[ \left\{ b_1, p_1 \right\}...,\left\{b_n,p_n\right\} \right][{b1​,p1​}...,{bn​,pn​}]，每一个附着点由一个偏移量${\mathbf{p}}_i$以及一个附着在的骨骼$b_i$定义。偏移量${\mathbf{p}}_i$定义为物体$b_i$坐标系中的一个固定偏移量，它和它附着着的骨骼一起移动和旋转。多个附着点可以附着在一个骨骼上。第一个点和最后一个点$p_1$和$p_n$表示肌肉肌腱附着在骨骼上的位置，其他点都是通过点。

肌肉的总长度$L_M$等于$n-1$个肌肉段长度之和，$[s_1,...,s_{n-1}]$，这些肌肉段的长度由世界坐标系中每个点的位置$p_i^W$求出：
$$\begin{array}{r}{L}_M=\sum _{i=1}^{n-1}||s_i||,s_i=p_{i+1}^W-p_i^W\end{array}$$
这些附着点在这篇文章的定义中，可以有四种活动方式：要么是固定的，要么被限制在一条线、一个平面或一个盒子上：

肌肉如何产生作用

由肌肉总长度$L_M$以及激活状态$a$可以计算肌肉收缩力$F_M$。由于受力平衡，这个力被传递到肌肉在骨骼上的每个附着点上，并在它跨越的每个关节上产生扭矩。对于每个关节$k$，在力臂$r_k$定义的方向上可以产生一个扭矩${\tau }_k$。这个力臂对应于穿过关节的肌肉段方向$s_c$与关节中心$j_k$到附着点$p_c^W$的矢量之间的叉积：
$$\begin{array}{r}{\tau }_k=F_M||r_k||,r_k=(p_c^W-j_k)\times \frac{s_c}{||s_c||}\end{array}$$

在Unity中实现肌肉骨骼模拟

在unity资源商店中有一个资源，实现了上述的肌肉骨骼模型：

https://assetstore.unity.com/packages/tools/physics/kinesis-physical-muscle-model-based-movement-206089

比较贵，$69.99，忍痛割刀买了。接下来讲解一下这个资源里是如何实现肌肉骨骼模型的。

在这个资源里，实现了调节肌肉激活状态，驱动人物的关节运动的物理模拟。

底层模拟基础

为了实现添加扭矩，驱动关节移动和旋转的功能，利用unity提供的Rigidbody以及Character Joint组件实现底层的模拟。

模拟实现

在每一个时步的模拟中，首先，参考公式$(6)$，根据输入的激活值更新激活状态$a$。然后，更新SEE部分的长度（如果是初始调用，则不更新）。根据SEE的长度计算归一化后CE的长度，以及归一化后CE的收缩速度（如果是初始调用，则为0）。根据激活状态$a$、归一化后CE的长度、归一化后CE的收缩速度，计算CE部分产生的主动力，参考公式$(1)$。同时，根据CE的长度，计算PEE部分的被动力。CE部分产生的主动力，加上PEE部分产生的被动力，等于SEE部分产生的被动力，也等于肌肉产生的力，参考公式$(4)$。其中，SEE部分产生的被动力，可以用来更新SEE部分的长度。接下来，利用肌肉产生的力，计算肌肉穿过的关节的扭矩，参考公式$(8)$。

补充

之前在实习时，leader让我做过这样一件事情，根据人物的运动序列，反向计算肌肉的激活状态，当时没能实现。现在想想，可以这样实现：

1、从人物的运动学模型转换到动力学模型，通过PD微分，求解人物每个关节所需要的扭矩。

2、根据每块肌肉和关节的关系，计算出每块肌肉应该产生的发力，通过每块肌肉产生的发力，反求出肌肉的激活状态。（根据公式$(1)$，并对激活状态的反推做简化，用$a=F_{CE}/F_{max}$计算）

参考

Geijtenbeek T, Van De Panne M, Van Der Stappen A F. Flexible muscle-based locomotion for bipedal creatures[J]. ACM Transactions on Graphics (TOG), 2013, 32(6): 1-11.

https://assetstore.unity.com/packages/tools/physics/kinesis-physical-muscle-model-based-movement-206089