摘要

准确的感知信道估计对于高性能综合感知与通信（ISAC）至关重要，因为它为目标检测和定位提供了关键信息。尽管已有广泛研究，但大多数现有方法依赖于理想硬件条件这一非现实假设。然而，由于使用低成本电路组件，硬件损伤往往是不可避免的。这凸显了开发在非理想条件下仍能保持可靠的鲁棒估计技术的必要性。为此，我们提出了一种专门为硬件损伤 ISAC 系统设计的自监督模型融合网络（a self-supervised model-fusion network，SMF-Net）。

为了抑制硬件非理想性引起的失真，我们设计了一个两阶段级联卷积神经网络（CNN），利用神经网络的 谱偏置（spectral bias） 特性（spectral bias of neural networks），即它们倾向于在浅层学习高响应频率细节，而在深层学习低频信息，从而更好地分离受损信道估计中存在的不同类型失真。

通过分析失真信道分量的领域特定特征（domain-specific features），我们引入了一种杂合域去噪策略（a hybrid-domain denoising strategy），有效地利用了信道模型中固有的空间相关性和角度稀疏性。此外，该框架以自监督方式进行训练，消除了对纯净信道标签的需求。

理论分析验证了所提方法的有效性，并证明在训练集足够大的情况下，自监督训练策略可以达到与监督学习相当的性能。数值结果证实了所提 SMF-Net 在各种挑战性场景下的优越性，包括严重的非线性失真、低发射功率和有限的训练数据。

Index Terms — 信道估计，硬件损伤，自监督学习，综合感知与通信。

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I. INTRODUCTION

为了克服这些局限性，本文提出了一种具有理论基础和结构信息的深度学习方法（a theoretically grounded and structurally informed approach），称为 模型融合（model fusion），它不仅保留了基于模型方法的控制能力（preserves the controllability of model-based approaches），还融入了数据驱动学习的灵活性（incorporates the flexibility of data-driven learning）。与传统的基于模型的算法不同，该方法采用参数化的结构先验来引导初始架构和学习过程（a parameterized structural prior to guide the initial architecture and learning process），而不是僵化地决定最终解。

在通信系统中，信号和信道并不是随机的杂乱信号，它们遵循物理定律。例如：

• 角度稀疏性（Angular Sparsity）： 在高频通信中，信号往往只从特定的几个角度（路径）到达，这在数学上表现为稀疏矩阵。
• 空间相关性（Spatial Correlation）： 天线阵列中相邻天线接收到的信号具有极强的相关性。
• 变换域特性： 信号在时域、频域或角度域往往具有特定的分布（如傅里叶变换后的特征）。

这些物理规律就是“结构先验”。

该论文提出的 “参数化结构先验（Parameterized Structural Prior）” 并不是传统意义上的硬性数学公式，比如在压缩感知问题中直接加正则化项。而是将通信物理特性转化为神经网络可学习的组件，从而引导模型的设计与训练 。

具体而言，我们提出了一个两阶段级联 CNN 架构，该架构巧妙地利用了 CNN 固有的“谱偏置（spectral bias）”特性 [35] 以及神经网络在处理受损信道估计结果的不同分量时，表现出的与“响应频率”相关的学习行为 [36] 。在设计上，每个阶段都经过专门定制，旨在其最合适的时机抑制特定类型的失真。这一洞察直接启发了我们模型融合网络的设计：它将信号结构的先验知识与数据驱动的学习机制相结合，从而实现了更有针对性且高效的去噪处理。

重要的是，所提出的训练过程是在离线状态下进行的，神经网络在此阶段学习如何将粗糙的 LS（最小二乘）估计值映射为精细的感知信道结果。在在线部署阶段，仅需要标准的 LS 信道估计作为输入，网络即可在不进行任何参数更新的情况下产生精炼的信道估计，确保了该方法适用于实际系统。

据我们所知，这项工作首次将受硬件损伤影响的感知信道模型特征与神经网络的学习行为相结合，并据此设计了一个名为自监督模型融合网络（self-supervised model fusion network，SMF-Net）的专门框架来解决信道估计问题。我们的主要贡献如下：

• 我们考虑了硬件缺陷的影响，并制定了一个根据硬件损伤特征定制的自监督感知信道估计框架。我们进一步提供了理论保证，证明在训练数据趋于无穷大的渐近状态下，自监督学习方案实现的估计性能等同于具有纯净标签的理想监督设置。

• 通过分析不同失真类型的特征，我们观察到消除加性高斯白噪声（AWGN）和硬件损伤的影响对应于神经网络中不同的响应频率模式。在这里，术语 频率 指的是通用网络输入输出映射的傅里叶分量。利用这一洞察，我们设计了一个两阶段模型融合网络，每个阶段都遵循深度频率原则（F-Principle）并顺序处理特定的失真。

• 我们从理论上证明了仅受硬件损伤污染的感知信道在角度域仍保持稀疏性，但与 AWGN 相比，其失真在该领域更具结构性且更难区分。这促使了一种杂合域去噪策略：第一阶段在角度域针对 AWGN 进行处理，第二阶段在空间域进一步精炼残余的硬件诱发失真。

II. SYSTEM MODEL

考虑一个 ISAC 场景，包含配备 $N_t$ 根天线的发射基站（BS）和配备 $N_r$ 根天线的接收 BS，两者均配置为均匀线性阵列（ULA）。当感知任务被触发时，BS 发射的信号被目标反射并由接收 BS 捕获。随后（is subsequently estimated）在接收机处估计感知信道，以促进目标定位和波束成形设计等下游任务。

A. Channel Model

我们采用散射信道模型 [37]-[39] 作为感知信道 $\mathbf{H}\in {\mathbb{C}}^{N_r\times N_t}$ ，即

$$\mathbf{H}=\sum _{l=1}^L{e}^{-j2\pi f_c{\tau }_l}\cdot {\alpha }_l\cdot {\mathbf{a}}_r({\vartheta }_l^r){\mathbf{a}}_t^H({\vartheta }_l^t)\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $L$ 是感知目标的数量， $f_c$ 是载波频率， ${\tau }_l$ 表示第 $l$ 条路径的相关延迟。复数值信道增益 ${\alpha }_l$ 由多普勒频移、雷达散射截面（RCS）和大尺度衰落的共同效应表征，其数学表达式为

$${\alpha }_l=e^{j2\pi f_d{t}_d}\cdot {\overline{\alpha }}_l\cdot {\beta }_l^r{\beta }_l^t\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 $f_d$ 是多普勒频移， $t_d$ 是采样时间。项 ${\overline{\alpha }}_l$ 表示第 $l$ 个感知目标的 RCS，满足 $|{\overline{\alpha }}_l|=1$ 且 $\text{arg}({\overline{\alpha }}_l)\sim \mathcal{U}(0,2\pi )$ 。 ${\beta }_l^r$ 和 ${\beta }_l^t$ 分别表示感知接收/发射 BS 与第 $l$ 个目标之间的大尺度衰落，而 ${\vartheta }_l^t$ 和 ${\vartheta }_l^r$ 分别表示第 $l$ 条路径在发射机的离开角（AoD）和在接收机的到达角（AoA）。对于 ULA，导向矢量 ${\mathbf{a}}_{\Omega }({\vartheta }^{\Omega })\in {\mathbb{C}}^{N_{\Omega }\times 1}$ 可以表示为

$${\mathbf{a}}_{\Omega }({\vartheta }^{\Omega })=[1,e^{-jkd\sin ({\vartheta }^{\Omega })},...,e^{-j(N_{\Omega }-1)kd\sin ({\vartheta }^{\Omega })}{]}^T\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 Ω ∈ { r , t } \Omega\in\{r,t\} Ω∈{r,t} 。 $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ 是波数，其中 $\lambda$ 是载波波长， $d$ 是天线间距。在本文中，我们将天线间距设置为 $d=\frac{\lambda }{2}$ 。

B. Sensing Phase

假设采用块衰落信道模型，其中物理信道在整个感知阶段的一个相干块内保持恒定。在导频训练阶段，发射 BS 发射长度为 ${\tau }_p$ 的导频序列 { φ i ∈ C N t × 1 } i = 1 τ p \{\boldsymbol{\varphi}_{i}\in\mathbb{C}^{N_{t}\times1}\}_{i=1}^{\tau_{p}} {φi​∈CNt​×1}i=1τp​​ ，其满足 $\Vert {\mathbf{\phi }}_i{\Vert }^2=1$ 。由感知目标反射的感知信号在第 $i$ 个时隙被接收 BS 接收，表示为

$${\mathbf{y}}_{p,i}=\mathbf{H}(\sqrt{{\rho }_p}{\mathbf{\phi }}_i+{\mathbf{\eta }}_i)+{\mathbf{n}}_{p,i}\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 ${\rho }_p$ 和 ${\mathbf{n}}_{p,i}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }_n^2{\mathbf{I}}_{N_r})$ 分别表示发射功率和 AWGN。 ${\mathbf{\eta }}_i$ 表示由发射机射频（RF）链路中的硬件缺陷引入的非线性失真，服从分布 [28], [40], [41]

$${\mathbf{\eta }}_i\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,\kappa {\rho }_p{\mathbf{I}}_{N_t})\text{\hspace{1em}(5)}$$

其（of which）方差与发射信号的功率成正比，比例因子（with multiplicative factor）为 $\kappa \triangleq \frac{{\kappa }_0^2}{N_t}$ 。误差矢量幅度（error vector magnitude，EVM） ${\kappa }_0$ 满足

$${\kappa }_0=\sqrt{\frac{\mathbb{E}[\Vert {\mathbf{\eta }}_i{\Vert }^2]}{{\rho }_p\mathbb{E}[\Vert {\mathbf{\phi }}_i{\Vert }^2]}}\text{\hspace{1em}(6)}$$

通常用于衡量 RF 收发机的质量（is commonly applied to measure the quality of RF transceivers）。

注 1。 在 ISAC 系统的感知阶段，感知信号和下行通信信号由发射基站（BS）同时发射。原本打算发给用户但被接收 BS 接收到的通信信号，通常很容易抑制。然而，由通信功能引起的硬件损伤会导致接收到的感知信号中出现额外的非线性失真。重要的是，(4) 中的原始信号模型在这些损伤下仍然适用，关键区别在于失真水平被放大了，正如较大的损伤参数 $\kappa$ 所表明的那样。

为了推导感知信道的估计，我们通过堆叠所有时隙中接收到的导频信号来构造观测矩阵，即

$${\mathbf{Y}}_p\triangleq [{\mathbf{y}}_{p,1},...,{\mathbf{y}}_{p,{\tau }_p}]=\mathbf{H}(\sqrt{{\rho }_p}{\mathbf{\Phi }}_p+\mathbf{\Xi })+{\mathbf{N}}_p\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中

$${\mathbf{\Phi }}_p\triangleq [{\mathbf{\phi }}_1,...,{\mathbf{\phi }}_{{\tau }_p}]\in {\mathbb{C}}^{N_t\times {\tau }_p},\text{\hspace{1em}(8a)}$$$$\mathbf{\Xi }\triangleq [{\mathbf{\eta }}_1,...,{\mathbf{\eta }}_{{\tau }_p}]\in {\mathbb{C}}^{N_t\times {\tau }_p},\text{\hspace{1em}(8b)}$$$${\mathbf{N}}_p\triangleq [{\mathbf{n}}_{p,1},...,{\mathbf{n}}_{p,{\tau }_p}]\in {\mathbb{C}}^{N_r\times {\tau }_p}.\text{\hspace{1em}(8c)}$$

本文采用正交离散傅里叶变换（DFT）导频序列，即 ${\mathbf{\Phi }}_p{\mathbf{\Phi }}_p^H={\mathbf{I}}_{N_t}$ 。给定接收到的导频信号 ${\mathbf{Y}}_p$ ，感知信道的 LS 估计是通过求解以下优化问题给出的

$${\hat{\mathbf{H}}}_{LS}=\arg \underset{\mathbf{H}}{\min }\Vert {\mathbf{Y}}_p-\sqrt{{\rho }_p}\mathbf{H}{\mathbf{\Phi }}_p{\Vert }_F^2\text{\hspace{1em}(9)}$$

其解表示为

$${\hat{\mathbf{H}}}_{LS}=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_p}}{\mathbf{Y}}_p{\mathbf{\Phi }}_p^H=\mathbf{H}+\frac{1}{\sqrt{{\rho }_p}}(\mathbf{H\Xi }+{\mathbf{N}}_p){\mathbf{\Phi }}_p^H.\text{\hspace{1em}(10)}$$

为了便于表示，感知信道的 LS 估计的矢量形式可以表示为

h ^ L S ≜ vec { H ^ L S } = 1 ρ p ( Φ p ∗ ⊗ I N r ) vec { Y p } = h + 1 ρ p ( Φ p ∗ ⊗ I N r ) ( vec { H Ξ } + vec { N p } ) (11) \begin{aligned} \hat{\mathbf{h}}_{LS}&\triangleq\text{vec}\{\hat{\mathbf{H}}_{LS}\}=\frac{1}{\sqrt{\rho_{p}}}(\mathbf{\Phi}_{p}^{*}\otimes \mathbf{I}_{N_{r}})\text{vec}\{\mathbf{Y}_{p}\} \\ &=\mathbf{h}+\frac{1}{\sqrt{\rho_{p}}}(\mathbf{\Phi}_{p}^{*}\otimes \mathbf{I}_{N_{r}})(\text{vec}\{\mathbf{H}\mathbf{\Xi}\}+\text{vec}\{\mathbf{N}_{p}\}) \end{aligned} \tag{11} h^LS​​≜vec{H^LS​}=ρp​ ​1​(Φp∗​⊗INr​​)vec{Yp​}=h+ρp​ ​1​(Φp∗​⊗INr​​)(vec{HΞ}+vec{Np​})​(11)

$$\text{vec}(\mathbf{ABC})=({\mathbf{C}}^T\otimes \mathbf{A})\text{vec}(\mathbf{B})$$

其中 $\otimes$ 表示克罗内克积（Kronecker product）运算， h = vec { H } \mathbf{h}=\text{vec}\{\mathbf{H}\} h=vec{H} 定义为感知信道的矢量形式。利用矢量化的性质 vec { H Ξ } = ( I τ p ⊗ H ) vec { Ξ } \text{vec}\{\mathbf{H}\mathbf{\Xi}\}=(\mathbf{I}_{\tau_{p}}\otimes \mathbf{H})\text{vec}\{\mathbf{\Xi}\} vec{HΞ}=(Iτp​​⊗H)vec{Ξ} 以及 $\mathbf{H},\mathbf{\Xi }$ 和 ${\mathbf{N}}_p$ 的相互独立性，LS 估计器的 MSE 可以表示为

$$\begin{array}{rl}{ϵ}_{LS}& \triangleq \mathbb{E}[\Vert {\hat{\mathbf{H}}}_{LS}-\mathbf{H}{\Vert }_F^2]=\kappa N_t\text{tr}({\mathbf{R}}_r)+\frac{{\sigma }_n^2}{{\rho }_p}{N}_t{N}_r\\ & =\kappa N_t^2{N}_r+\frac{{\sigma }_n^2}{{\rho }_p}{N}_t{N}_r\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$

其中

$${\mathbf{R}}_r\triangleq \mathbb{E}[\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H]=N_t{N}_r{\mathbb{E}}_{{\vartheta }^r}[{\mathbf{a}}_r({\vartheta }^r){\mathbf{a}}_r^H({\vartheta }^r)].\text{\hspace{1em}(13)}$$

实际上是 $$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_r& =\mathbb{E}\left[\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H\right]\\ & =\mathbb{E}\left[\left(\sum _{l=1}^L{\gamma }_l{\mathbf{a}}_r({\vartheta }_l^r){\mathbf{a}}_t^H({\vartheta }_l^t)\right){\left(\sum _{k=1}^L{\gamma }_k{\mathbf{a}}_r({\vartheta }_k^r){\mathbf{a}}_t^H({\vartheta }_k^t)\right)}^H\right]\\ & =\mathbb{E}\left[\sum _{l=1}^L\sum _{k=1}^L{\gamma }_l{\gamma }_k^{\ast }{\mathbf{a}}_r({\vartheta }_l^r)\underset{\text{发射导向矢量内积}}{\underbrace{{\mathbf{a}}_t^H({\vartheta }_l^t){\mathbf{a}}_t({\vartheta }_k^t)}}{\mathbf{a}}_r^H({\vartheta }_k^r)\right]\\ & =\sum _{l=1}^L\mathbb{E}\left[|{\gamma }_l{|}^2{\mathbf{a}}_r({\vartheta }_l^r)\underset{=N_t}{\underbrace{({\mathbf{a}}_t^H({\vartheta }_l^t){\mathbf{a}}_t({\vartheta }_l^t))}}{\mathbf{a}}_r^H({\vartheta }_l^r)\right](\because \text{路径独立，交叉项期望为0})\\ & =\sum _{l=1}^L\mathbb{E}\left[|{\gamma }_l{|}^2\cdot N_t\cdot {\mathbf{a}}_r({\vartheta }_l^r){\mathbf{a}}_r^H({\vartheta }_l^r)\right]\\ & =\sum _{l=1}^L\mathbb{E}[|{\gamma }_l{|}^2]\cdot N_t\cdot \mathbb{E}[{\mathbf{a}}_r({\vartheta }_l^r){\mathbf{a}}_r^H({\vartheta }_l^r)](\because \text{假设增益与角度统计独立})\end{array}$$

公式 (12) LS 估计 MSE 推导过程汇总
1. 误差定义的展开
根据 LS 估计公式 (10)，估计误差可以表示为：
$${\hat{\mathbf{H}}}_{LS}-\mathbf{H}=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_p}}(\mathbf{H\Xi }+{\mathbf{N}}_p){\mathbf{\Phi }}_p^H$$
均方误差 (MSE) 定义为 Frobenius 范数的期望：
$${ϵ}_{LS}\triangleq \mathbb{E}[\Vert {\hat{\mathbf{H}}}_{LS}-\mathbf{H}{\Vert }_F^2]$$
利用 $\Vert \mathbf{A}{\Vert }_F^2=\text{tr}(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H)$ 及期望的线性性质，由于噪声 ${\mathbf{N}}_p$ 与硬件损伤 $\mathbf{\Xi }$ 相互独立（交叉项期望为 0），误差可分解为两部分：
$${ϵ}_{LS}=\underset{\text{Term 1: 硬件损伤项}}{\underbrace{\frac{1}{{\rho }_p}\mathbb{E}[\Vert \mathbf{H\Xi }{\mathbf{\Phi }}_p^H{\Vert }_F^2]}}+\underset{\text{Term 2: 加性噪声项}}{\underbrace{\frac{1}{{\rho }_p}\mathbb{E}[\Vert {\mathbf{N}}_p{\mathbf{\Phi }}_p^H{\Vert }_F^2]}}$$
2. 加性噪声项 (Term 2) 推导
利用迹的循环性质 $\text{tr}(\mathbf{AB})=\text{tr}(\mathbf{BA})$：
$$\text{Term 2}=\frac{1}{{\rho }_p}\mathbb{E}[\text{tr}({\mathbf{N}}_p{\mathbf{\Phi }}_p^H{\mathbf{\Phi }}_p{\mathbf{N}}_p^H)]=\frac{1}{{\rho }_p}\text{tr}({\mathbf{\Phi }}_p^H{\mathbf{\Phi }}_p\mathbb{E}[{\mathbf{N}}_p^H{\mathbf{N}}_p])$$

• 噪声统计特性： ${\mathbf{N}}_p$ 元素独立同分布，故 $\mathbb{E}[{\mathbf{N}}_p^H{\mathbf{N}}_p]=N_r{\sigma }_n^2{\mathbf{I}}_{{\tau }_p}$。
• 导频性质： 利用正交导频 ${\mathbf{\Phi }}_p{\mathbf{\Phi }}_p^H={\mathbf{I}}_{N_t}$，可得 $\text{tr}({\mathbf{\Phi }}_p^H{\mathbf{\Phi }}_p)=\text{tr}({\mathbf{\Phi }}_p{\mathbf{\Phi }}_p^H)=N_t$。
  代入得：
  $$\text{Term 2}=\frac{1}{{\rho }_p}\cdot (N_r{\sigma }_n^2)\cdot N_t=\frac{{\sigma }_n^2}{{\rho }_p}{N}_t{N}_r$$

3. 硬件损伤项 (Term 1) 推导

同理展开迹，并利用 $\mathbf{H}$ 与 $\mathbf{\Xi }$ 的独立性：
$$\text{Term 1}=\frac{1}{{\rho }_p}\text{tr}\left({\mathbb{E}}_{\mathbf{H}}\left[\mathbf{H}\underset{\text{核心期望}}{\underbrace{{\mathbb{E}}_{\mathbf{\Xi }}[\mathbf{\Xi }{\mathbf{\Phi }}_p^H{\mathbf{\Phi }}_p{\mathbf{\Xi }}^H]}}{\mathbf{H}}^H\right]\right)$$

• 计算核心期望： 令 $\mathbf{Q}={\mathbf{\Phi }}_p^H{\mathbf{\Phi }}_p$。由于 $\mathbf{\Xi }$ 列向量独立且协方差为 $\kappa {\rho }_p{\mathbf{I}}_{N_t}$，仅对角项非零：
  $${\mathbb{E}}_{\mathbf{\Xi }}[\mathbf{\Xi Q}{\mathbf{\Xi }}^H]=(\kappa {\rho }_p{\mathbf{I}}_{N_t})\cdot \text{tr}(\mathbf{Q})=\kappa {\rho }_p{N}_t{\mathbf{I}}_{N_t}$$
  将结果代回 Term 1，并定义 ${\mathbf{R}}_r=\mathbb{E}[\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H]$：
  $$\text{Term 1}=\frac{1}{{\rho }_p}\cdot (\kappa {\rho }_p{N}_t)\cdot \text{tr}(\mathbb{E}[\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H])=\kappa N_t\text{tr}({\mathbf{R}}_r)$$

4. 最终结果与归一化假设
结合 Term 1 和 Term 2，得到公式 (12) 第一行：

$${ϵ}_{LS}=\kappa N_t\text{tr}({\mathbf{R}}_r)+\frac{{\sigma }_n^2}{{\rho }_p}{N}_t{N}_r$$
为了得到公式 (12) 第二行的最终形式，文章隐含了信道能量归一化假设，假设 $$\sum _{l=1}^L\mathbb{E}[|{\gamma }_l{|}^2]=1,$$
即 $\mathbb{E}[\Vert \mathbf{H}{\Vert }_F^2]=N_t{N}_r$，这意味着：
$$\text{tr}({\mathbf{R}}_r)=N_t{N}_r$$
最终得到：
$${ϵ}_{LS}=\kappa N_t^2{N}_r+\frac{{\sigma }_n^2}{{\rho }_p}{N}_t{N}_r$$

接收导频信号的矢量形式定义为

y p = ρ p ( Φ p T ⊗ I N r ) h + ( I τ p ⊗ H ) vec { Ξ } + vec { N p } . (14) \mathbf{y}_{p}=\sqrt{\rho_{p}}(\mathbf{\Phi}_{p}^{T}\otimes \mathbf{I}_{N_{r}})\mathbf{h}+(\mathbf{I}_{\tau_{p}}\otimes \mathbf{H})\text{vec}\{\mathbf{\Xi}\}+\text{vec}\{\mathbf{N}_{p}\}. \tag{14} yp​=ρp​ ​(ΦpT​⊗INr​​)h+(Iτp​​⊗H)vec{Ξ}+vec{Np​}.(14)

LMMSE 估计器试图找到一个线性估计

h ^ L M M S E ≜ vec { H ^ L M M S E } = W L M M S E y p (15) \hat{\mathbf{h}}_{LMMSE}\triangleq\text{vec}\{\hat{\mathbf{H}}_{LMMSE}\}=\mathbf{W}_{LMMSE}\mathbf{y}_{p} \tag{15} h^LMMSE​≜vec{H^LMMSE​}=WLMMSE​yp​(15)

它通过求解以下优化问题来最小化 MSE

$${\mathbf{W}}_{LMMSE}=\arg \underset{\mathbf{W}}{\min }\mathbb{E}[\Vert \mathbf{h}-\mathbf{W}{\mathbf{y}}_p{\Vert }^2]\text{\hspace{1em}(16)}$$

其解表示为

$${\mathbf{W}}_{LMMSE}={\mathbf{R}}_{\mathbf{h}{\mathbf{y}}_p}{\mathbf{R}}_{{\mathbf{y}}_p{\mathbf{y}}_p}^{-1}\text{\hspace{1em}(17)}$$

其中相关矩阵定义为

$${\mathbf{R}}_{\mathbf{h}{\mathbf{y}}_p}\triangleq \mathbb{E}[\mathbf{h}{\mathbf{y}}_p^H]=\sqrt{{\rho }_p}{\mathbf{R}}_{hh}({\mathbf{\Phi }}_p^{\ast }\otimes {\mathbf{I}}_{N_r})\text{\hspace{1em}(18)}$$

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{{\mathbf{y}}_p{\mathbf{y}}_p}& \triangleq \mathbb{E}[{\mathbf{y}}_p{\mathbf{y}}_p^H]={\rho }_p({\mathbf{\Phi }}_p^T\otimes {\mathbf{I}}_{N_r}){\mathbf{R}}_{hh}({\mathbf{\Phi }}_p^{\ast }\otimes {\mathbf{I}}_{N_r})\\ & +\kappa {\rho }_p({\mathbf{I}}_{{\tau }_p}\otimes {\mathbf{R}}_r)+{\sigma }_n^2{\mathbf{I}}_{{\tau }_p{N}_r}\end{array}\text{\hspace{1em}(19)}$$

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{hh}& \triangleq \mathbb{E}[\mathbf{h}{\mathbf{h}}^H]\\ & =N_t{N}_r{\mathbb{E}}_{{\vartheta }^t,{\vartheta }^r}[({\mathbf{a}}_t^{\ast }({\vartheta }^t){\mathbf{a}}_t^T({\vartheta }^t))\otimes ({\mathbf{a}}_r({\vartheta }^r){\mathbf{a}}_r^H({\vartheta }^r))]\end{array}\text{\hspace{1em}(20)}$$

因此，LMMSE 估计可以表示为

$$\begin{array}{rl}{\hat{\mathbf{h}}}_{LMMSE}& =\frac{1}{\sqrt{{\rho }_p}}{\mathbf{R}}_{hh}({\mathbf{R}}_{hh}+\kappa ({\mathbf{I}}_{N_t}\otimes {\mathbf{R}}_r)+\frac{{\sigma }_n^2}{{\rho }_p}{\mathbf{I}}_{N_t{N}_r}{)}^{-1}\\ & \cdot ({\mathbf{\Phi }}_p^{\ast }\otimes {\mathbf{I}}_{N_r}){\mathbf{y}}_p\\ & ={\mathbf{R}}_{hh}({\mathbf{R}}_{hh}+\kappa ({\mathbf{I}}_{N_t}\otimes {\mathbf{R}}_r)+\frac{{\sigma }_n^2}{{\rho }_p}{\mathbf{I}}_{N_t{N}_r}{)}^{-1}{\hat{\mathbf{h}}}_{LS},\end{array}\text{\hspace{1em}(21)}$$

并且 LMMSE 估计器的 MSE 给定为

$$\begin{array}{rl}{ϵ}_{LMMSE}& \triangleq \mathbb{E}[\Vert {\hat{\mathbf{H}}}_{LMMSE}-\mathbf{H}{\Vert }_F^2]=\text{tr}({\mathbf{R}}_{hh})\\ & -\text{tr}({\mathbf{R}}_{hh}({\mathbf{R}}_{hh}+\kappa ({\mathbf{I}}_{N_t}\otimes {\mathbf{R}}_r)+\frac{{\sigma }_n^2}{{\rho }_p}{\mathbf{I}}_{N_t{N}_r}{)}^{-1}{\mathbf{R}}_{hh}).\end{array}\text{\hspace{1em}(22)}$$