1.方程：

两个圆方程为：${\Vert X-C_i\Vert }^2=r_i^2\cdots (1)$

2.交点分析：

可以设$\vec{u}=C_1-C_0=(u_0,u_1),define:\vec{v}=(u_1,-u_0)$
有：${\Vert \vec{u}\Vert }^2={\Vert \vec{v}\Vert }^2={\Vert C_1-C_0\Vert }^2,\vec{u}\cdot \vec{v}=0.$
设交点为：$X=C_0+s\vec{u}+t\vec{v}$,也可写作$X=C_1+(s-1)\vec{u}+t\vec{v}$
将上式分别带入式（1），可以得到：
$(s^2+t^2){\Vert \vec{u}\Vert }^2=r_0^2\cdots (2)$
$((s-1{)}^2+t^2){\Vert \vec{u}\Vert }^2=r_0^2\cdots (3)$
(2),（3）可化简为：
$s=\frac{1}{2}(\frac{r_0^2-r_1^2}{{\Vert \vec{u}\Vert }^2}+1)\cdots (4)$
(4)带入（2）可得：
$t^2=-\frac{({\Vert \vec{u}\Vert }^2-(r_0+r_1{)}^2)({\Vert \vec{u}\Vert }^2-(r_0-r_1{)}^2)}{4{\Vert \vec{u}\Vert }^4}$
要使得上式有解，需保证分子小于0即可。

3.结论

有解条件：$(r_0-r_1{)}^2\le {\Vert \vec{u}\Vert }^2\le (r_0+r_1{)}^2$
外切：${\Vert \vec{u}\Vert }^2=(r_0+r_1{)}^2$
内切：${\Vert \vec{u}\Vert }^2=(r_0-r_1{)}^2$
两个圆是同一个圆：${\Vert \vec{u}\Vert }^2=0，r_1=r_0$
由（4）参数值为$s,t$，可得解：$t=\pm \sqrt{-\frac{({\Vert \vec{u}\Vert }^2-(r_0+r_1{)}^2)({\Vert \vec{u}\Vert }^2-(r_0-r_1{)}^2)}{4{\Vert \vec{u}\Vert }^4}},s=\frac{1}{2}(\frac{r_0^2-r_1^2}{{\Vert \vec{u}\Vert }^2}+1)$
交点为：$X=C_0+s\vec{u}+t\vec{v}$