在机器学习中，我们经常会碰到不光滑的函数，但我们的优化方法通常是基于梯度的，这意味着光滑的模型可能更利于优化（梯度是连续的），所以就有了寻找非光滑函数的光滑近似的需求。事实上，本博客已经多次讨论过相关主题，比如 《寻求一个光滑的最大值函数》、 《函数光滑化杂谈：不可导函数的可导逼近》等，但以往的讨论在方法上并没有什么通用性。

不过，笔者从最近的一篇论文《SAU: Smooth activation function using convolution with approximate identities》学习到了一种比较通用的思路：用狄拉克函数来构造光滑近似。通用到什么程度呢？理论上有可数个间断点的函数都可以用它来构造光滑近似！个人感觉还是非常有意思的。
注：部分积分的计算可以参考常见积分求解

狄拉克函数

在很早之前的文章《诡异的Dirac函数》中，我们就介绍过狄拉克函数了。在现代数学中，狄拉克函数被定义为一个“泛函”而不是“函数”，但对于大多数读者来说，将它当作函数来理解是比较容易接受的。

简单来说，狄拉克函数$\delta (x)$满足：

1、$\forall x\ne 0,\delta (x)=0$
2、$\delta (0)=\infty$
3、${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)=1$

直观来看，$\delta (x)$可以看成一个连续型的概率密度函数，采样空间为全体实数$\mathbb{R}$，但是只有$x=0$处概率非零，也即均值为$0$、方差也为$0$，所以从中采样必然只能采样到$0$，因此成立如下恒等式：$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)dx=f(0)\text{\hspace{1em}(1)}$$或者$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(y)\delta (x-y)dy=f(x)\text{\hspace{1em}(2)}$$
这可谓是狄拉克函数最重要的性质，也是我们后面主要用到的恒等式。

光滑近似

如果我们能找到$\delta (x)$的一个光滑近似$\phi (x)\approx \delta (x)$，那么根据(2)，我们就有$$g(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(y)\phi (x-y)dy\approx f(x)\text{\hspace{1em}(3)}$$
由于$\phi (x)$是光滑的，所以$g(x)$也是光滑的，这也就是说，$g(x)$就是$f(x)$的一个光滑近似！这便是借助狄拉克函数的光滑近似来构建$f(x)$的光滑近似的核心思路了，在这个过程中，对$f(x)$的形式和连续性都没有太多限制，比如允许$f(x)$有可数个间断点（如取整函数$[x]$）。

那么狄拉克函数的光滑近似有哪些呢？现成的也有不少，比如：$$\delta (x)=\underset{\sigma \to 0}{\lim }\frac{e^{-x^2/2{\sigma }^2}}{\sqrt{2\pi }\sigma }\text{\hspace{1em}(4)}$$或$$\delta (x)=\frac{1}{\pi }\underset{a\to 0}{\lim }\frac{a}{x^2+a^2}\text{\hspace{1em}(5)}$$
简单来说，就是找一个像正态分布那样钟形曲线的非负函数，想办法让钟形的宽度逐渐趋于0，但保持积分为1。还有另一个思路是留意到$${\int }_{-\infty }^x\delta (t)dt=\theta (x)=\{\begin{array}{r}1,(x>0)\\ 0,(x<0)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
也就是说，狄拉克函数的积分是“单位阶跃函数”$\theta (x)$，如果我们能找到$\theta (x)$的光滑近似，那么将它求导就得到狄拉克函数的光滑近似。而$\theta (x)$的光滑近似，就是所谓的“S形”曲线了，比如sigmoid函数$\sigma (x)=1/(1+e^{-x})$，所以我们有$$\delta (x)=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{d}{dx}\sigma (tx)=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{e^{tx}t}{(1+e^{tx}{)}^2}\text{\hspace{1em}(7)}$$
常用的就是式(4)和式(7)两个近似。

Relu激活

现在，我们就以上述思路为工具，推导ReLU激活函数$max(x,0)$的各种光滑近似。

比如利用式(7)，得到$$\begin{array}{rl}\max (x,0)\approx & {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{t(x-y)}t}{(1+e^{t(x-y)}{)}^2}\max (y,0)dy\\ =& {\int }_0^{\infty }\frac{e^{t(x-y)}ty}{(1+e^{t(x-y)}{)}^2}dy=\frac{\log (1+e^{tx})}{t}\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
当t=1时，这便是SoftPlus激活函数。
如果换用式(4)，那么结果是$$\begin{array}{rl}\max (x,0)\approx & {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{-(x-y{)}^2/2{\sigma }^2}}{\sqrt{2\pi }\sigma }\max (y,0)dy\\ =& {\int }_0^{\infty }\frac{e^{-(x-y{)}^2/2{\sigma }^2}y}{\sqrt{2\pi }\sigma }dy\\ =& \frac{1}{2}\left[x\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}\sigma }\right)+x+\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sigma e^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
这个ReLU的光滑近似貌似还没被研究过。

当然，如果仅仅是ReLU函数的光滑近似，那么还有更简单的思路，比如留意到$max(x,0)=x\theta (x)$，这里的θ(x)就是前面提到的单位阶跃函数，所以问题可以转变为求θ(x)的光滑近似，我们已经知道sigmoid便是其中之一，所以很快得到$$\max (x,0)\approx x\sigma (tx)$$
当$t=1$时，这便是Swish激活函数。而如果用(4)进行计算$\theta (x)$的光滑近似，那么就得到$$\begin{array}{rl}\max (x,0)\approx & x{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{-(x-y{)}^2/2{\sigma }^2}}{\sqrt{2\pi }\sigma }\theta (y)dy\\ =& x{\int }_0^{\infty }\frac{e^{-(x-y{)}^2/2{\sigma }^2}}{\sqrt{2\pi }\sigma }dy=\frac{1}{2}\left[x+x\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}\sigma }\right)\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$
当$\sigma =1$时，就是GeLU激活函数。

取整函数

可能读者觉得还不够意思，毕竟上面推导出来的都是现成的东西，而且不借助狄拉克函数也能推导出来。现在我们就来补充一个不怎么平凡的例子：取整函数的光滑近似。

取整函数分上取整和下取整两种，它们定义上有所不同，但是没有本质区别，这里以下取整为例子，我们记为$$[x]=n,\text{当且仅当存在}n\in \mathbb{Z}\text{使得}x\in [n,n+1)\text{\hspace{1em}(12)}$$
假设$\phi (x)$为狄拉克函数的某个光滑近似，那么$$[x]\approx {\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x-y)[y]dy=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n{\int }_n^{n+1}\phi (x-y)dy$$
设$\phi (x)$的原函数为$\Phi (x)$，那么$\phi (x-y)$关于$y$的原函数就是$-\Phi (x-y)$，于是有$$\begin{array}{rl}[][x]\approx & \sum _{n=-\infty }^{\infty }n[\Phi (x-n)-\Phi (x-n-1)]\\ =& \underset{M,N\to \infty }{\lim }\sum _{n=-M}^N(n-1)\Phi (x-n)-n\Phi (x-n-1)+\Phi (x-n)\\ =& \underset{M,N\to \infty }{\lim }N\Phi (x-N-1)-(M+1)\Phi (x+M)+\sum _{n=-M}^N\Phi (x-n)\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$
对于$\Phi (x)$我们有$\Phi (-\infty )=0$和$\Phi (\infty )=1$，所以假设我们关心的范围满足$-M\ll x\ll N$，那么$\Phi (x-N-1)\approx 0$和$\Phi (x+N)\approx 1$，所以此时：$$\begin{array}{rl}[][x]\approx & -M-1+\sum _{n=-M}^N\Phi (x-n)\\ =& \sum _{n=-M}^0[\Phi (x-n)-1]+\sum _{n=1}^N\Phi (x-n)\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$
用$\Phi (x)=\sigma (tx)$作为例子，取$t=10,M=5,N=10$，结果如下：

可以看到，确实与$[x]$蛮近似的，增大$t$能进一步提高近似程度。

文章小结

本文介绍了一种利用狄拉克函数来构造光滑近似的方法，其特点是比较通用，对原函数没有太严格的要求。作为例子，我们利用它导出了ReLU函数的各种常见近似以及取整函数的一个光滑近似。

转载

本文转载自苏神的用狄拉克函数来构造非光滑函数的光滑近似