定理

Suppose $f(x)$ is continuous, positive and decreasing on $\left[1,\infty \right]$. If $a_n=f(n)$ for all $n=1,2,...$, then
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}isconvergent.⟺{\int }_1^{+\infty }f\left(x\right)dxisconvergent$$
假设 $f(x)$ 在区间 $\left[1,\infty \right]$上是递减的正项连续函数. 如果对于所有$n=1,2,...$都有 $a_n=f(n)$ ，则
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n收敛.⟺{\int }_1^{+\infty }f\left(x\right)dx收敛$$

证明

如图所示为$y=f(x)$的图像

函数$f(x)$在这个区域的反常积分，即${\int }_1^{+\infty }f\left(x\right)dx$，就是绿色区域部分。
使用下黎曼和（lower Riemann sum），如图所示

易得出
$$\sum _{n=2}^{\infty }{a}_n\le {\int }_1^{+\infty }f\left(x\right)dx$$
使用上黎曼和（upper Riemann sum），如图所示

易得出
$${\int }_1^{+\infty }f\left(x\right)dx\le \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$
终上所述
$$\sum _{n=2}^{\infty }{a}_n\le {\int }_1^{+\infty }f\left(x\right)dx\le \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$
根据比较审敛法
$$\begin{gathered} \text{若级数 }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{收敛，则反常积分 }{\int }_1^{+\infty }f\left(x\right)dx\text{收敛} \\ \text{若反常积分}{\int }_1^{+\infty }f\left(x\right)dx\text{收敛，则级数}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{收敛} \end{gathered}$$

p级数敛散性

由积分审敛法可得
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\text{与 }{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx\text{同敛散}$$
（1）$0<p<1$时
$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx={\frac{x^{-p+1}}{-p+1}|}_1^{+\infty }=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right)-\frac{1}{-p+1}$$
$$\because \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right)=+\infty \therefore {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx\text{发散}$$
（2）$p=1$时
$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}dx=\ln x{\mid }_1^{+\infty }\text{发散}$$
（3）$p>1$时
$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx={\frac{x^{-p+1}}{-p+1}|}_1^{+\infty }=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right)-\frac{1}{-p+1}$$
$$\because \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right)=0\therefore {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx\text{收敛}$$
终上所述
$$\text{当}0<p\le 1\text{时，级数}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\text{发散，当}p>1\text{时，级数}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\text{收敛}$$