1.相关定理及推论

命题一：设向量组${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$线性无关，则向量$\beta$可以由${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$线性表示的充分必要条件是${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s,\beta$线性相关。

证明：必要性是显然的，下面证明充分性：
设${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s,\beta$线性相关，则$K$中有不全为零的数$k_1,k_2,\cdots ,k_s,,l$,使得
$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s+l\mathbf{\beta }=0$$
假如$l=0$,则$k_1,k_2,\cdots ,k_s$不全为零，并且从(1)式得
$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$$
于是${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$线性相关。这与已知条件矛盾,于是$l\ne 0$
从而由上式得
$$\mathbf{\beta }=-\frac{k_1}{l}{\mathbf{a}}_1-\frac{k_2}{l}{\mathbf{\alpha }}_2-\cdots -\frac{k_3}{l}{\mathbf{\alpha }}_s$$

推论一：设向量组${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$线性无关，则向量$\beta$不可以由${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$线性表示的充分必要条件是${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s,\beta$线性无关。

注解：这里讨论的是${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$线性无关的情况，对于其线性有关的情况，则是到下面的极大线性无关组中去考虑，也就是找到线性有关的向量组里面最大的那个无关组来进行证明。

命题二：$\beta$可以由向量组${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$线性表示当且仅当$\beta$可以由${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$的一个极大线性无关组线性表示。

命题三：设向量组${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$可以由向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$线性表示，如果$r>s$，那么${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$线性相关。

证明：为了证明${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$线性相关，需要找到一组不全为零的数$k_1,k_2,\cdots ,k_r$，使得
$$k_1{\mathbf{\beta }}_1+k_2{\mathbf{\beta }}_2+\cdots +k_r{\mathbf{\beta }}_r=0$$
为此，考虑线性组合$x_1{\mathbf{\beta }}_1+x_2{\mathbf{\beta }}_2+\cdots +x_r{\mathbf{\beta }}_r$
设
$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{\beta }}_1=a_{11}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{21}{\mathbf{a}}_2+\cdots +a_{31}{\mathbf{a}}_s\\ & \begin{array}{l}{\mathbf{\beta }}_2=a_{12}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{22}{\mathbf{a}}_2+\cdots +a_{12}{\mathbf{a}}_3\\ \cdots \cdots \cdots \\ {\mathbf{\beta }}_r=a_{1r}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{2r}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_x{\mathbf{\alpha }}_s\end{array}\end{array}$$
带入后可得下列齐次线性方程组

$$\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1r}{x}_r=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2r}{x}_r=0\\ \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{s1}{x}_1+a_{s2}{x}_2+\cdots +a_{sr}{x}_r=0\end{array}$$

由已知条件$s<r$，因此线性方程组有非零解，只需要取其中一个非零解，即可得${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$线相关。

注解：注意这里并没有要求向量组$\alpha$是线性无关

推论二：设向量组${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$可以由向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$线性表示，如果${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$线性无关，那么$r⩽s$ 这个不等式证明经常用

注解：这个是上个命题的逆否命题

命题四：如果向量组$(I)$可以由向量组$(II)$线性表示，那么
$$(I)的秩⩽(II)的秩$$

证明：设${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$是$(I)$的一个极大线性无关组，${\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$是$(II)$的一个极大线性无关组。则${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$可以由$(I)$线性表示，而$(I)$又可以由向量组$(II)$线性表示，$(II)$又可以由${\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$线性表示，因此${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$可以由${\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$线性表示，所以
$$(I)的秩⩽(II)的秩$$

延伸组和缩短组
如果向量组线性无关，那么把每个向量填上$m$个分量(所添分量的位置对于每个向量都一样)得到的延伸组也线性无关

证明：设${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$的一个延伸组为${\tilde{\mathbf{\alpha }}}_1,\cdots ,{\tilde{\mathbf{\alpha }}}_s$，则从
$$k_1{\tilde{\mathbf{\alpha }}}_1+\cdots +k_s{\tilde{\mathbf{a}}}_s=0$$
可得出
$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$$
若${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$线性无关，则从上式得$k_1=\cdots =k_s=0$
从而${\tilde{\mathbf{\alpha }}}_1,\cdots ,{\tilde{\mathbf{\alpha }}}_s$也线性无关

推论：如果向量组线性相关，那么把每个向量去掉$m$个分量(去掉的分量的位置对于每个向量都一样)得到的缩短组也线性相关
(这是上面命题的逆否命题)

一个总结：

• 如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关。如果向量组线性无关，那么它的任何一个部分组也线性无关

• 如果向量组线性无关，那么把每个向量填上m个分量（所添的分量的位置对于每个向量都一样）得到的延伸组也线性无关

  如果向量线性相关，那么把每个向量去掉m个分量（去掉的分量的位置对于每个向量都一样）得到的缩短组也线性相关