线性代数：延伸组和缩短组
延伸组和缩短组如果向量组线性无关，那么把每个向量填上mmm个分量(所添分量的位置对于每个向量都一样)得到的延伸组也线性无关证明：设α1,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}α1,⋯,αs的一个延伸组为α~1,⋯ ,α~s\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}, \cdots, \til
延伸组和缩短组
如果向量组线性无关，那么把每个向量填上mmm个分量(所添分量的位置对于每个向量都一样)得到的延伸组也线性无关
证明：设α1,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}α1,⋯,αs的一个延伸组为α~1,⋯ ,α~s\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}, \cdots, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{s}α~1,⋯,α~s，则从
k1α~1+⋯+ksa~s=0 k_{1} \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}+\cdots+k_{s} \tilde{\boldsymbol{a}}_{s}=\mathbf{0} k1α~1+⋯+ksa~s=0
可得出
k1α1+⋯+ksαs=0 k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0} k1α1+⋯+ksαs=0
若α1,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}α1,⋯,αs线性无关，则从上式得k1=⋯=ks=0k_{1}=\dots=k_{s}=0k1=⋯=ks=0
从而α~1,⋯ ,α~s\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}, \cdots, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{s}α~1,⋯,α~s也线性无关
推论：如果向量组线性相关，那么把每个向量去掉mmm个分量(去掉的分量的位置对于每个向量都一样)得到的缩短组也线性相关
(这是上面命题的逆否命题)
一个总结：
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如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关。如果向量组线性无关，那么它的任何一个部分组也线性无关
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如果向量组线性无关，那么把每个向量填上m个分量（所添的分量的位置对于每个向量都一样）得到的延伸组也线性无关
如果向量线性相关，那么把每个向量去掉m个分量（去掉的分量的位置对于每个向量都一样）得到的缩短组也线性相关
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