电路元件的S域模型

拉普拉斯变换求解问题的步骤

步骤

• 把电路从时域变换到s域
• 用节点分析法、网孔分析法、电源变换、叠加定理或其他电路分析方法求解、域电路
• 求频域解的反变换，得到电路的时域解

拉氏变换优点

• 可以用拉普拉斯变换来解一阶或二阶电路
• 拉式变换过程中包含初始条件，因此可以一次可以求得网络的全响应（暂态和稳态响应）
• 在电路分析中：使用拉式变换便于使用各种信号源，如冲激、阶跃、斜坡、指数、正弦信号

基础元件拉氏变换

基尔霍夫定律

$$\begin{array}{rlrlrl}KCL& & \sum i=0& & \sum I\left(\mathrm{S}\right)& =0\\ KVL& & \sum u=0& & \sum U\left(S\right)& =0\end{array}$$

电阻

时域的电压电流关系

$$\upsilon (t)=Ri\left(t\right)$$

拉氏变换

$$V(s)=RI(s)$$

电感器

时域的电压电流关系

$$v(t)=L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$$

拉氏变换

$$V(s)=L[sI\left(s\right)-i(0^{-})]=sLI\left(s\right)-Li\left(0^{-}\right)$$

即

$$I(s)=\frac{1}{sL}V(s)+\frac{i(0^{-})}{s}$$

电容器

    时域模型                                        s域等效电路                                        s域等效模型

时域的电压电流关系

$$i(t)=C\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}$$

s域关系

$$I(s)=C[sV(s)-v(0^{-})]=sCV(s)-Cv(0^{-})$$

即

$$V(s)=\frac{1}{sC}I\left(s\right)+\frac{v\left(0^{-}\right)}{s}$$

零状态响应

零状态响应

零初始条件下电阻电容电感拉氏变换

$$\begin{array}{rl}V(s)& =RI(s)\\ V(s)& =sLI(s)\\ V(s)& =\frac{1}{sC}I(s)\end{array}$$

定义s域阻抗为零初始条件下的变换电压与变换电流之比

$$Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)}$$

即电阻电感电容阻抗为

$$\begin{array}{rl}Z(s)& =R\\ Z(s)& =sL\\ Z(s)& =\frac{1}{sC}\end{array}$$

总结

                                                 假设电路处于零初始条件

理想放大器

• 由拉普拉斯变换的线性性质，若f(t)的拉普拉斯变换是F(s)，那么af(t)的拉普拉斯变换是aF(s)
• 便于建立受控源和运算放大器的模型
• 受控源仅有两个控制变量：电流或电压，其输出为电压乘以常数或电流乘以常数。因此：

$$\mathcal{L}[av(t)]=aV(s)$$

$$\mathcal{L}[ai(t)]=aI(s)$$

• 理想运算放大器可以当做一个电阻器
• 无论运放是实际的还是理想的，在其内部都是将输入电压乘以常数
• 因此，利用输入电压和输人电流为零的理想运放条件，即可写出运算放大器的方程

拉氏变换计算电路

计算电路电压响应

• 求电路的$v_o$(t)，假设初始条件为零

首先将电路由时域转换到s域

$$u(t)\Rightarrow \frac{1}{s}$$

$$1\text{ H }\Rightarrow sL=s$$

$$\frac{1}{3}\mathrm{F}\Rightarrow \frac{1}{sC}=\frac{3}{s}$$

产生的s域电路如图，应用网孔法分析法分析电路

对于网孔1：

$$\frac{1}{s}=\left(1+\frac{3}{s}\right)I_1-\frac{3}{s}{I}_2$$

对于网孔2：

$$0=-\frac{3}{s}{I}_1+\left(s+5+\frac{3}{s}\right)I_2$$

即

$$I_1=\frac{1}{3}(s^2+5s+3)I_2$$

联立：

$$\frac{1}{s}=\left(1+\frac{3}{s}\right)\frac{1}{3}(s^2+5s+3)I_2-\frac{3}{s}{I}_2$$

两边乘以3s得：

$$3=(s^3+8s^2+18s)I_2\Rightarrow I_2=\frac{3}{s^3+8s^2+18s}$$

$$V_o(s)=s{I}_2=\frac{3}{s^2+8s+18}=\frac{3}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{(s+4{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}$$

做反变换域，得：

$$\begin{array}{rl}{\upsilon }_o(t)& =\frac{3}{\sqrt{2}}{e}^{-4t}\sin \sqrt{2t}\text{V},t\ge 0\end{array}$$

计算电路电压响应

• 求电路中的$v_o$(t)，假设$v_o$(0)=5V

将电路转换到s域，如图所示

初始条件以电流源C$v_o$(0)=0.1×5=0.5A的形式包含于电路中(见电容器s域等效模型)

采用节点分析法，对顶端的节点，有：

$$\frac{10/(s+1)-V_o}{10}+2+0.5=\frac{V_o}{10}+\frac{V_o}{10/s}$$

即

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{s+1}+2.5& =\frac{2V_o}{10}+\frac{s{V}_o}{10}=\frac{1}{10}{V}_o(s+2)\end{array}$$

两边乘以10，得：

$$\begin{array}{r}\frac{10}{s+1}+25=V_o(s+2)\end{array}$$

即

$$V_o=\frac{25s+35}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}$$

其中：

$$A{=(s+1)V_o(s)|}_{s=-1}=\frac{25s+35}{(s+2)}{|}_{s=-1}=\frac{10}{1}=10$$

$$B=(s+2)V_o(s){|}_{s=-2}=\frac{25s+35}{(s+1)}{|}_{s=-2}=\frac{-15}{-1}=15$$

因此：

$$V_o(s)=\frac{10}{s+1}+\frac{15}{s+2}$$

求拉普拉斯反变换，得：

$$\begin{array}{rl}{v}_o(t)& =(10e^{-t}+15e^{-2t})u(t)\text{V}\end{array}$$

计算电流响应

• 电路中，开关在t=0时刻从位置a切换至位置b，求t>0时的i(t)

电感器的初始电流是i(0)=Io

t>0时的s域电路图，初始条件以电压源Li(0)=LIo的形式包含其中

用网孔分析法可得：

$$I(s)(R+sL)-L{I}_o-\frac{V_o}{s}=0$$

即

$$\begin{array}{rl}I(s)& =\frac{L{I}_o}{R+sL}+\frac{V_o}{s(R+sL)}=\frac{I_o}{s+R/L}+\frac{V_o/L}{s(s+R/L)}\end{array}$$

将上式右边第二项用部分分式展开，得：

$$I(s)=\frac{I_o}{s^2+R/L}+\frac{V_o/R}{s}-\frac{V_o/R}{(s^2+R/L)}$$

拉普拉斯反变换为：

$$\begin{array}{rl}i(t)& =\left(I_o-\frac{V_o}{R}\right)e^{-t/\tau }+\frac{V_o}{R},t\ge 0,\tau =L/R\end{array}$$

• 上式第一项是暂态响应，第二项是稳态响应，即终值是i(∞)= Vo/R

对I(s)应用终值定理可得到相同结果，即：

$$\begin{array}{rl}\underset{s\to 0}{\lim }sI(s)& =\underset{s\to 0}{\lim }\left(\frac{s{I}_o}{s+R/L}+\frac{V_o/L}{s+R/L}\right)=\frac{V_o}{R}\end{array}$$

电流响应也可以写为：

$$\begin{array}{r}i(t)=I_o{e}^{-t/\tau }+\frac{V_o}{R}(1-e^{-t/\tau }),t\ge 0\end{array}$$

第一项是自然响应，第二项是强迫响应。如果初始条件Io=0，上式变为：

$$\begin{array}{r}i(t)=\frac{V_o}{R}(1-e^{-t/\tau }),t\ge 0\end{array}$$

• 此即阶跃响应，它是阶跃输入Vo作用于零状态电路时产生的响应