主要内容

本章以列昂惕夫生产消费模型为例，讲解了矩阵在实际生活中的应用。

列昂惕夫投入产出模型

列昂惕夫是著名的经济学家，曾经获得诺贝尔奖，其中线性代数为他获得诺奖提供了重要帮助。

有这么一个复杂的经济命题：

假设某国的经济体系分为$n$个部门，这些部门分别生产不同类型的产品，例如制造业、农业产品、服务业业产品。可以用${\mathbb{R}}^n$中的向量$\mathbf{x}$来代表这个产出向量，$\mathbf{x}$中的每一个元素代表一个不同类型的产品。另外，用向量$\mathbf{d}$代表需求向量，也就是社会需要消耗多少产品。理想情况下，如果要保持生产和消费的平衡，只要保证$\mathbf{x}=\mathbf{d}$即可。但实际上，每个部门在生产的同时，也需要进行消费，例如，制造业部门虽然产出工业产品，但要维持它的运转，它在产出时也需要消耗一定的制造业产品、农业产品、服务业产品，这种额外的消费被称作中间需求。这就使得问题变得复杂了起来。

针对如上问题，为了评估各生产部门的中间需求，计算列昂惕夫提出了一种建模的方法：

针对每个部门，都有一个${\mathbb{R}}^n$中的单位消费向量，它列出了该部门的单位产出所需的投入。
如下图所示，每一列代表了每个部门的单位消费向量，其中制造业、农业、服务业的单位消费向量分别是：${\mathbf{c}}_1=\left[\begin{array}{c}0.50\\ 0.20\\ 0.10\end{array}\right]$，${\mathbf{c}}_2=\left[\begin{array}{c}0.40\\ 0.30\\ 0.10\end{array}\right]$，${\mathbf{c}}_3=\left[\begin{array}{c}0.20\\ 0.10\\ 0.30\end{array}\right]$，每个向量代表了每生产该1单位（通常以100万美元作为单位）该产品时，需要消耗多少其他产品。

举例：
如果制造业决定生产100单位产品，它将消费多少？

解：

计算：
$$100{\mathbf{c}}_1=100\left[\begin{array}{c}0.50\\ 0.20\\ 0.10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}50\\ 20\\ 10\end{array}\right]$$
可知，制造业每生产100单位产品，就要消耗制造业自身产出的50单位产品，并消费掉20单位农业产品，以及10单位服务业产品。

由上例，可以启发我们如何计算中间需求。假设制造业、农业、服务业分别决定生产$x_1$，$x_2$，$x_3$单位产出，那么它们造成的总的中间需求为：
$$x_1{\mathbf{c}}_1+x_2{\mathbf{c}}_2+x_3{\mathbf{c}}_3=C\mathbf{x}$$
其中，$C$是消耗矩阵$\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{c}}_1& {\mathbf{c}}_2& {\mathbf{c}}_3\end{array}\right]$，也就是：$C=\left[\begin{array}{ccc}0.50& 0.40& 0.20\\ 0.20& 0.30& 0.10\\ 0.10& 0.10& 0.30\end{array}\right]$。

现在，我们已经能够表达中间需求了，由于总产出=中间需求+社会需求，那么自然可以得出如下表达式：
$$\mathbf{x}=C\mathbf{x}+\mathbf{d}$$
上式可以重写为：
$$(\mathbf{I}-C)\mathbf{x}=\mathbf{d}$$
现在，只要知道社会需求$\mathbf{d}$是多少，我们就能够做出预算，也就是每个部门的生产量$\mathbf{x}$。
例：

假设社会需求是制造业50单位，农业30单位，服务业20单位，求生产水平$\mathbf{x}$。

解：

$$\mathbf{I}-C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0.5& 0.4& 0.2\\ 0.2& 0.3& 0.1\\ 0.1& 0.1& 0.3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0.5& -0.4& -0.2\\ -0.2& 0.7& -0.1\\ -0.1& -0.1& 0.7\end{array}\right]$$
化简增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}0.5& -0.4& -0.2& 50\\ -0.2& 0.7& -0.1& 30\\ -0.1& -0.1& 0.7& 20\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 226\\ 0& 1& 0& 119\\ 0& 0& 1& 78\end{array}\right]$$
可知，制造业需要226单位，农业119单位，服务业78单位。

若$\mathbf{I}-C$可逆，则可以直接使用逆矩阵定理，得出$\mathbf{x}=(\mathbf{I}-C{)}^{-1}\mathbf{d}$。可以通过证明得知，在大部分实际情况中（$C$中每一列的和小于1，因为每个部门生产一单位产出所需投入的总价值应该小于1），$\mathbf{I}-C$是可逆的，而且产出向量$\mathbf{x}$是经济上可行的，也就是说，$\mathbf{x}$中的元素是非负的，这里略去不讲。