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算法背景

    Liang-Barsky算法由梁友栋和Barsky共同发表，是目前计算机图形学最经典的算法之一。他们认为线段裁剪的问题是：裁剪窗口是二维对象，而线段是一维对象，两个对象的维度不同不便比较。他们给出的解决思路是，将裁剪线段和裁剪窗口看为点集裁剪的结果是两个点集的交集。

算法思想

    Liang-Barsky算法的主要思想有两部分：

• 用参数方程表示直线
• 将待裁剪直线看作是一个有方向的线

用参数方程表示直线

    算法背景中提到Liang-Barsky算法的解决思路是，将裁剪线段和裁剪窗口看为点集裁剪的结果是两个点集的交集。那么裁剪线段如何转换点集呢？很显然用参数方程来表示直线。

    设待裁剪线段为$P_1{P}_2$，其中$P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2)$，用参数关系u表示有下图关系：

显见有如下关系：

$$\{\begin{array}{ll}x=x_1+u\ast (x2-x1)=x_1+u\ast \Delta x& 0\le u\le 1;\\ y=y_1+u\ast (y2-y1)=y_1+u\ast \Delta y& 0\le u\le 1.\end{array}$$

当$u=0$时，$x=x_1,y=y_1$也就是$P_1$；
当$u=1$时，$x=x_2,y=y_2$也就是$P_2$；
当$u=0.5$时，也就是该直线中点位置。

由上面三种情况可以很容易归纳出该图像的几何意义：也就是u值即可表示要裁剪线段的多少

将待裁剪直线看作是一个有方向的线

    从上面我们知道u的取值可以决定线段要裁剪的多少，那么u到底如何取值变成了现在的首要目标？

    我们将四个窗口的交边分别定义成两类边：入边和出边

• 入边：指从裁剪窗口之外进入到裁剪窗口方向的边
• 出边：指从裁剪窗口之内延伸到窗口之外的边

    待裁剪线段和裁剪窗口必定会有四个交点（包括与裁剪窗口延长线的交点）分别设四个交点分别为$c_1,c_2,c_3,c_4$。设待裁剪直线为$P_1{P}_2$。则有下图：

    显见要裁剪线段为$P_1$和$c_3$所夹线段，所以u的选取就要从$P_1,c_3$所对应$u_1,u_2$入手，则显见有如下关系式：

$u_1=max(c_1,c_2,P_1)$    $u_1$是两个入边和$P_1$对应u值的最小值
$u_2=min(c_3,P_2,c_4)$    $u_2$是两个出边和$P_2$对应u值的最大值

$u_1,u_2$的值要满足$u_1<u_2$

    只要求出$u_1,u_2$就能算出裁剪线段，但是要求出$u_1,u_2$的话，就又出现了两个新的问题：

• 如何算出四个交点$c_1,c_2,c_3,c_4$所对应的u值
• 如何确定哪两个边是出边，哪两个边是入边

四个交点对应的u值

在上面用参数方程表示直线章节中，我们提出了：

$$\{\begin{array}{ll}x=x_1+u\ast (x2-x1)=x_1+u\ast \Delta x& 0\le u\le 1;\\ y=y_1+u\ast (y2-y1)=y_1+u\ast \Delta y& 0\le u\le 1.\end{array}$$

    我们不妨先考虑下，在u为何值时，$(x,y)$位于裁剪窗口之内？我们设裁剪窗口的上边界为$y_{max}$，下边界为$y_{min}$，左边界为$x_{min}$，右边界为$x_{max}$，结合上式有：

$$\{\begin{array}{l}{x}_{min}\le x_1+u\ast \Delta x\le x_{max}\\ y_{min}\le y_1+u\ast \Delta y\le y_{max}\end{array}$$

可以看出当
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+u\ast \Delta x=x_{min}\\ x_1+u\ast \Delta x=x_{max}\\ y_1+u\ast \Delta y=y_{min}\\ y_1+u\ast \Delta y=y_{max}\end{array}$$
时，为裁剪直线和四个边界的交点值，所以我们可以很轻松的算出四个对应的u值，此处不在赘述。

出入边的确定

上面我们只提到了不等式的四个特殊情况，不失一般性，这里我们写出不等式的所有情况：
$$\{\begin{array}{l}{x}_{min}\le x_1+u\ast \Delta x\le x_{max}\\ y_{min}\le y_1+u\ast \Delta y\le y_{max}\end{array}$$
可化简为：
$$\{\begin{array}{l}u\ast (-\Delta x)\le x_1-x_{min}\\ u\ast \Delta x\le x_{max}-x_1\\ u\ast (-\Delta y)\le y_1-y_{min}\\ u\ast \Delta y\le y_{max}-y_1\end{array}$$
上面四种情况可以归纳成

$$u\ast p_k\le q_k,k=1,2,3,4$$

使用穷举法可知：

• 当$p_k<0$时，线段从裁剪边界延长线的外部延伸到内部，也就是入边
• 当$p_k>0$时，线段从裁剪边界延长线的内部延伸到外部，也就是出边

显见，当$p_k=0$时，且$q_k<0$，则线段完全在边界外；若$q_k\ge 0$，则线段完全在边界内

代码实现

def Liang-Barsky(p_list, x_min, y_min, x_max, y_max):
    """线段裁剪

    :param p_list: (list of list of int: [[x0, y0], [x1, y1]]) 线段的起点和终点坐标
    :param x_min: 裁剪窗口左上角x坐标
    :param y_min: 裁剪窗口左上角y坐标
    :param x_max: 裁剪窗口右下角x坐标
    :param y_max: 裁剪窗口右下角y坐标
    :return: (list of list of int: [[x_0, y_0], [x_1, y_1]]) 裁剪后线段的起点和终点坐标
    """
	result = []
    if y_min > y_max:
        y_min, y_max = y_max, y_min
    x0, y0 = p_list[0]
    x1, y1 = p_list[1]

    p = [x0-x1, x1-x0, y0-y1, y1-y0]
    q = [x0-x_min, x_max-x0, y0-y_min, y_max-y0]
    u0, u1 = 0, 1
    
    for i in range(4):
        if p[i] < 0:
            u0 = max(u0, q[i]/p[i])
        elif p[i] > 0:
            u1 = min(u1, q[i]/p[i])
        elif (p[i] == 0 and q[i] < 0):
            result = [[0,0], [0,0]]
            return result
        if u0 > u1:
            result = [[0,0], [0,0]]
            return result
            
    if u0 > 0:
        res_x0 = int(x0 + u0*(x1-x0) + 0.5)
        res_y0 = int(y0 + u0*(y1-y0) + 0.5)
    if u1 < 1:
        res_x1 = int(x0 + u1*(x1-x0) + 0.5)
        res_y1 = int(y0 + u1*(y1-y0) + 0.5)
    result = [[res_x0, res_y0], [res_x1, res_y1]]

    return result