1.条件假设

为了方便研究，且不失一般性，对理论介绍过程中的阵元、快拍数、信号和噪声做如下假设：

阵元数M，信源数K，快拍数L。

<1>信源是非高斯、零均值、相互独立（信号的互相关系数为0）的窄带平稳过程。

<2>阵元噪声为理想高斯白噪声，并且与信源独立。

<3>阵元间距，且信源数小于阵元数，即K<M。 

<4>接收阵列中所有阵元的特性完全相同，每个阵元接收到的信号只与其在空间中的位置有关，各个阵元之间不存在干扰和互耦性。

2.远场信源传播模型

远场接收均匀线阵列示意图如下：

上图为M元均匀线阵，阵元间距为，空间来波信号到达均匀接收线阵的波达角度记为均匀线阵的法线与空间来波信号的夹角。

假设在远场空间中有来波信号，来波信号的个数一共有K个，且来波信号之间为相互独立的窄带信号。

窄带信号：信号的带宽远小于其中心频率，则该信号成为窄带信号，即：

 

通常将正弦信号和余弦信号称为正弦型信号，正弦形信号为典型的窄带信号。例如将10Hz和20Hz的正弦信号使用频率为10000Hz的正弦信号进行调制。窄带信号表示为。

其中，为幅度调制函数（实包络），为中心频率对应的相位角频率，为相位调制函数。因此可以使用中心频率来表示窄带信号的信息。

将来波信号的中心频率定义为，则对于每个信号的角频率来说：

其中，为待估计信号的波长，c为光速，为来波信号的角频率。假设将均匀线阵接收第个远场信号的来波信号记为，则可以表示为：

 其中为来波信号的复包络，则延迟时刻后波前信号为：

 由于之前假设来波信号为窄带信号，根据窄带信号的性质可得：

代入上式可得： 

假设第k个待估计信号以角度入射至阵列，将均匀线阵中第一个阵元视为参考阵元。则与到达下标m为的阵元的相比，时间差为：

 对应的相位差为：

 其中为了避免相位模糊，同一采样时刻，两个相邻阵元之间的相位差不超过，阵元间距不超过半波长，即。

则在t时刻，第m个接收阵元采集到的空间来波中第k个窄带信号可以表示为：

 式中，为空间中第k个来波信号到达第m个接收阵元相对参考阵元的影响因子，由于之前假设(4)中接收阵列中所有阵元性能相同，故，为空间远场第k个窄带信号到达接收阵列的角度值。

计算噪声信号和所有的来波信号，则接收阵列中第k个接收阵元在t时刻的接收信号为：

 其中，是噪声矢量。令。因此第k个阵元的采样信号为：

其中，表示远场来波信号中第个窄带信号到达接收阵列中参考阵元时的信号。则均匀线阵的接收信号矢量的矩阵形式可以写成：

其中，为均匀线阵接收的采样数据矢量矩阵，为阵列流型矩阵，为信源矩阵，为噪声矩阵，且：

由上式可以看出远场信号的阵列流型矩阵为Vandermonde矩阵，因此当空间入射信号从不同来波方向入射到接收阵列时，矩阵为列满秩矩阵。

3.近场信源传播模型

如图所示，当来波信号的信源与阵列中参考阵元之间的距离比较接近时，来波信号的传播方式不再是平面波，而需要将传播方式看为球面波，传播模型为近场信源模型。阵列中的阵元都处于信源的Fresnel域中：，为阵列孔径。此时信源的参数还包含信源到参考阵元的距离，二者都需要进行估计。由于之前假设一共有个相互独立的窄带信号，且假设新的近场接收均匀线阵一共有个阵元，阵元下标为到，则下标为的阵元接收到的信号可以表示为如下：

 其中是快拍数，是加性高斯白噪声，表示来波信号中第个信源到达下标为0的阵元的采样信号，则是来波信号中第个信源到达下标为0的阵元与下标为的阵元之间的相位差，根据三角形的余弦定理可以写成:

 其中表示第个信源的波达方向，是其与0号阵元（即参考阵元）间的距离，且，对上式做泰勒级数展开，并将三阶及其以上高阶泰勒级数是作为无穷小项，相位差可以改写成：

 其中：

 假设用矩阵形式来表达，公式中在时刻阵列的输出可以写成：

 其中是信号的方向矩阵也是阵列流型矩阵，其第列是如下方向向量：

 和分别为信号向量和噪声向量：

 用如下矩阵来表示整个阵列的采样接收信号：

其中，为快拍数。

将近场信号源模型与远场信号源模型相比较，发现二者的主要区别在于阵列流型矩阵。远场信号源模型的阵列流型矩阵是只包含角度信息的矩阵，而近场信号源模型的阵列流型矩阵是包含角度信息与距离信息的矩阵，因此其算法复杂度大大增加。

[1]郝苏湘. 近场声源定位算法研究[D].西安电子科技大学,2021.DOI:10.27389/d.cnki.gxadu.2021.001004.