1.1.原函数存在性定理

• （1）连续函数$f(x)$必有原函数
• （2）含有第一类间断点，无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内必没有原函数

连续函数一定存在原函数，反之是不对的
有第一类间断点的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能有原函数，如：$F(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，$f(x)=\{\begin{array}{rl}2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，显然有$F^{\prime }(x)=f(x)$，但$x=0$为$f(x)$的第二类间断点

1.2.定积分存在性充分条件

• （1）若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则${\int }_a^{b}f(x)dx$存在。
• （2）若$f(x)$在$[a,b]$上单增，则${\int }_a^{b}f(x)dx$存在。
• （3）若$f(x)$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则${\int }_a^{b}f(x)dx$存在。

1.3.定积分存在性必要条件

1.4.变限积分的性质

• 函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，则函数$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$在$[a,b]$上连续。
• 函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，则函数$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$在$[a,b]$上可导。

1.5.变上限积分函数

设$f(x)$连续或有有限个第一类间断点，令$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则：当$x_0$为$f(x)$的第一类间断点时，$F(x)$在$x=x_0$处连续；当$x_0$为$f(x)$的连续点时，$F(x)$在$x=x_0$处可导。

1.6.可积函数与原函数不同

如$f(x)=\{\begin{array}{rl}\ln (1+x),& x>0\\ e^x,& x⩽0\end{array}$，显然$f(x)$在$[-1,1]$上可积，且

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x& ={\int }_{-1}^0{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x+{\int }_0^1\ln (1+x)\mathrm{d}x=1-{\mathrm{e}}^{-1}+{x\ln (1+x)|}_0^1-{\int }_0^1\frac{x}{1+x}\mathrm{d}x\\ & =1-{\mathrm{e}}^{-1}+\ln 2-{\int }_0^1\left(1-\frac{1}{1+x}\right)\mathrm{d}x=2\ln 2-\frac{1}{\mathrm{e}}\end{array}$$