1. 分布函数列的弱收敛性

弱收敛 { F n ( x ) } \{F_n(x)\} {Fn​(x)} 是分布函数列，如果存在一个函数 $F_{(}x)$, 对任意 $x$ , 使得 ${\lim }_{n\to \infty }{F}_n(x)=F(x)$, 则称$F_n(x)$ 弱收敛于 $F(x)$, 并记为
$$F_n(x)\stackrel{w}{\to }F(x).$$

2. 随机变量的四种收敛性

假定如下的随机变量 $X$ 与随机变量序列 { X n } \{X_n\} {Xn​} 定义在概率空间 $(\Omega ,F,P)$ 上.

依分布收敛 设 $X_n$ 的分布函数为 $F_n(x)$, $X$ 的分布函数为 $F(x)$, 假如
$$F_n(x)\stackrel{w}{\to }F(x)，$$
则称 { X n } \{X_n\} {Xn​} 依分布收敛于 $X$, 记为$X_n\stackrel{d}{\to }X.$

• 依分布收敛为这里讨论收敛性中最弱的收敛，其只能保证分布函数序列收敛。

依概率收敛 若对 $\forall$ $\epsilon >0$ ,
lim ⁡ n → ∞ P { w : ∣ X n ( w ) − X ( w ) ∣ ≥ ε } = 0 , \lim_{n \to \infty}P\{w: |X_n(w)-X(w)| \geq \varepsilon\}=0, n→∞lim​P{w:∣Xn​(w)−X(w)∣≥ε}=0,
则称 { X n } \{X_n\} {Xn​} 依概率收敛于 $X$, 记为$X_n\stackrel{P}{\to }X.$

• 依概率收敛强于依分布收敛，其先给定$\epsilon >0$，保证 $|X_n(w)-X(w)|\ge \epsilon$ 随着 $n$ 增大，概率趋向于0。这里可见 $\epsilon$ 越小收敛性越好。

r-阶收敛 假设 $E|X{|}^r<\infty$, $E|X_n{|}^r<\infty ,r>0$. 如果
$$\underset{n\to \infty }{\lim }E|X_n-X{|}^r=0，$$
则称 { X n } \{X_n\} {Xn​} r-阶收敛于 $X$。 其中当$r=2$时，称为均方收敛。

• r-阶收敛强于依概率收敛，其说明随着 $n$ 的增大，r-阶的 $|X_n-X|$ 的期望是为0的。

几乎处处收敛（依概率1收敛） 如果
$$P(w:\underset{n\to \infty }{\lim }{X}_n(w)=X(w))=1，$$
称 { X n } \{X_n\} {Xn​} 几乎处处收敛于 $X$, 记为 $$X_n\stackrel{a.s.}{\to }X.$$

• 几乎处处收敛也强于依概率收敛，和依概率收敛比较，可以看成取定$\epsilon =0$，所以也叫依概率1收敛。事实上，几乎处处收敛是不收敛点的集合是只构成勒贝格零集。

3. 收敛性间关系

参考资料

[1] 刘嘉焜，王公恕，应用随机过程（第二版）。