目的

1、为避免一学就会、一用就废，这里做下笔记
2、让高等数学没学好的人（如本学渣），也能彻底搞懂卷积是什么

基础要求

1、认字
2、懂加减乘除四则运算
3、知道微积分符号的基本含义

什么是卷积

定义

卷积是一种数学运算方法，描述两个函数之间如何相互作用产生第三个函数。
对于两个函数$f(t)$和$g(t)$，它们卷积后生成函数$e(t)$，$e(t)$的数学定义为：
$$e(t)=(f\ast g)(t)=\int f(\tau )\cdot g(t-\tau )d\tau$$

• t：函数的自变量
• *：卷积操作
• $\tau$：积分变量，该符号和t相似，要注意区分
• $\cdot$：点乘，即四则运算中的乘法

疑问：
1、$e(t)、f(t)、g(t)、t、\tau 、\int$等符号有什么现实意义？
2、为什么工程中要用到这么奇怪的数学变换？
带着上述疑问，且看下一节↓

物理意义上如何理解？

想象一个能量发射的场景：
1、有一个能量发射器，它能不断对外发射能量，发射能量的强度随时间t的变化规律为$f(t)$
2、能量被发射后，随时间t不断耗散，耗散规律为$g(t)$
3、有一个能量探测器，它能探测t时刻，空间中能量的强度$e(t)$

场景1：最简单场景

1、能量发射器仅在0时刻，发射强度为2的能量，之后不发射，发射规律为:
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}2& 当t=0\\ 0& 当t>0\end{array}$$
2、能量随时间t不断耗散为原本的一半，如1秒后耗散为原本的$\frac{1}{2}$，2秒后耗散为原本的$\frac{1}{4}$，3秒后耗散为原本的$\frac{1}{8}$。耗散规律$g(t)$为：
$$g(t)=\frac{1}{2^t}$$
3、能量探测器，在第3秒时，探测到的能量强度为：0时刻能量的残余，即：
$$e(3)=f(0)\cdot g(3-0)=2\cdot \frac{1}{2^3}=\frac{1}{4}$$
4、能量探测器，在第t秒时，探测到的能量强度为：
$$e(t)=f(0)\cdot g(t-0)$$

场景2：仅改变发射能量的时刻

基于场景1：
1、仅略微改变$f(t)$，发射时刻从0改为1
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}2& 当t=1\\ 0& 当t\ge 0且t\ne 1\end{array}$$
2、$g(t)$不变
3、能量探测器，在第3秒时，探测到的能量强度为：1时刻能量的残余，即：
$$e(3)=f(1)\cdot g(3-1)=2\cdot \frac{1}{2^2}=\frac{1}{2}$$
4、能量探测器，在第t秒时，探测到的能量强度为：
$$e(t)=f(1)\cdot g(t-1)$$

场景3：发射2次能量

基于场景2：
1、仅略微改变$f(t)$，发射时刻从1改为：0和1
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}2& 当t=0,1\\ 0& 当t>0且t\ne 1\end{array}$$
2、$g(t)$不变
3、能量探测器，在第3秒时，探测到的能量强度为：0时刻能量的残余+1时刻能量的残余，即：
$$\begin{array}{rl}e(3)& =f(0)\cdot g(3-0)+f(1)\cdot g(3-1)\\ & =2\cdot \frac{1}{2^3}+2\cdot \frac{1}{2^2}=\frac{3}{4}\end{array}$$
4、能量探测器，在第t秒时，探测到的能量强度为：
$$e(t)=f(0)\cdot g(t-0)+f(1)\cdot g(t-1)$$

场景4：定时发射能量

基于场景3：
1、仅略微改变$f(t)$，发射时刻改为从0开始，每秒1次
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}2& 当t=0,1,2,\mathrm{3...}\\ 0& 当t>0且t\ne 整数\end{array}$$
2、$g(t)$不变
3、能量探测器，在第3秒时，探测到的能量强度为：0时刻能量的残余+1时刻能量的残余+2时刻能量的残余+3时刻能量的残余，即：
$$\begin{array}{rl}e(3)& =f(0)\cdot g(3-0)+f(1)\cdot g(3-1)\\ & +f(2)\cdot g(3-2)+f(3)\cdot g(3-3)\end{array}$$
4、能量探测器，在第t秒时，探测到的能量强度为：
$$e(t)=\sum _{\tau =0}^{t}f(\tau )\cdot g(t-\tau )\tau =0,1,2,\mathrm{3...}$$

场景5：持续发射能量

基于场景4：
1、仅略微改变$f(t)$，发射规律改为持续发射，即：
$$f(t)=2t\ge 0$$
2、$g(t)$不变
3、能量探测器，在第3秒时，用微积分的方法，探测到的能量强度为：0时刻能量的残余+0.001时刻能量的残余+0.002时刻能量的残余+0.003时刻能量的残余…+3时刻能量的残余，即：
$$e(3)={\int }_0^{3}f(\tau )\cdot g(t-\tau )d\tau$$
4、能量探测器，在第t秒时，探测到的能量强度为：
$$e(t)={\int }_0^{t}f(\tau )\cdot g(t-\tau )d\tau$$

总结

基于以上5个场景，成功推导出卷积公式$$e(t)=(f\ast g)(t)=\int f(\tau )\cdot g(t-\tau )d\tau$$
回应前面的疑问：

1、$e(t)、f(t)、g(t)、t、\tau 、\int$等符号有什么现实意义？

上述场景中:

• $t$：自变量，表示时间（当前时刻 或 不断向前的时间）
• $f(t)$：能量随时间t的发射规律
• $g(t)$：能量随时间t的耗散规律
• $e(t)$：$t$时刻，探测到的能量强度
• $\tau$：积分变量，$t$之前的某一时刻，值域为$[0,t]$
• $f(\tau )$：$\tau$时刻，能量源发出的能量大小（或能量强度）
• $f(\tau )\cdot g(t-\tau )$：$\tau$时刻发出的能量$f(\tau )$，到$t$时刻时，残余的能量大小
• ${\int }_0^{t}f(\tau )\cdot g(t-\tau )d\tau$：$0-t$时刻之间，能量源已发出的所有能量(不断耗散)，到$t$时刻时，残余能量的总和

2、为什么工程中要用到这么奇怪的数学变换？

因为实际工程中，会大量遇到上述案例的变种。

• 变种1-信号处理，类比如下：

数学	能量发射场景	信号处理场景
$f(t)$	能量发射	信号源发出信号（声音、电信号、光信号）
$g(t)$	能量耗散规律	信号强度耗散规律
$e(t)$	探测t时刻能量强度	探测t时刻信号强度

• 变种2-图像处理，类比如下：

数学	能量发射场景	图像处理场景
$t$	时间t	空间像素位置（x,y）
$f(t)$	能量发射	从左到右，从上到下，遍历图像不同区域的像素
$g(t)$	能量耗散规律	像素特征规律
$e(t)$	探测t时刻能量强度	遍历完图像后，抽取到整个图像的特征

哲学引申

现状是主体在历史作用下的结果，万事万物，莫不卷积。

数学	能量发射场景	哲学场景	个人示例
$f(t)$	能量发射	历史对主体的不断作用=不断输入信号	人的后天经历
$g(t)$	能量耗散规律	主体的特质（江山易改、本性难移）	人的先天禀赋
$e(t)$	探测t时刻能量强度	某一层面的现状	人的性情现状

文学引申

想起很早之前看的一段话，大意是：“这不仅仅只是一幅普通的油画，我的作品里，有我所有走过的路，读过的书，看过的风景，听过的音乐，和我爱过的人”。嗯，没错，这是卷积。