门槛回归（Threshold Regression）是一种用于分析变量间关系在不同条件下发生变化的统计方法，其也称作门槛模型或者门限回归等。它能够识别出当某个变量（门槛变量）达到特定值（门槛值）时，变量间的关系会发生结构性改变。在现实生活中，很多现象都存在"门槛效应"。比如：

- 当温度低于0℃时，水会结冰，物理性质发生突变

- 当收入超过某个水平时，消费行为会发生改变

- 当经济增长率低于某个阈值时，各种经济政策的效果可能不同

传统线性回归假设变量间关系是固定不变的，而门槛回归则能捕捉到这种结构性变化，提供更准确的分析结果。门槛回归模型时，其涉及几个变量名词，分别下述：

名称	说明
因变量	也称被解释变量，即被影响的变量
自变量	也称解释变量，在门槛回归时也可能称为控制变量，即会影响到因变量的项
门槛变量	将其数据寻找出几个不同的‘门槛值’，然后对其可划分为不同区间研究‘核心解释变量’对于Y的影响，并在不同区间时影响情况的差别
核心解释变量	其也是自变量（解释变量），其对因变量Y的影响时，会因为门槛变量取值不同时，影响幅度可能不同有些研究中‘核心解释变量’就是‘门槛变量’
个体id和时间	面板数据时需要设置，让SPSSAU认识数据是面板数据如果不是面板数据则不需要设置SPSSAU支持面板和非面板两种数据进行门槛回归分析
门槛类型	SPSSAU提供单一门槛/双重门槛/三重门槛单一门槛时：有一个门槛值，将门槛变量划分为2个区间；双重门槛时：有2个门槛值，将门槛变量划分为3个区间；三重门槛时：有3个门槛值，将门槛变量划分为4个区间；
网格搜索	其用于遍历寻找最优门槛值，该参数值越大越精细但运行越慢
Bootstrap次数	其用于自主抽样寻找门槛值的95%置信区间

1 背景

当前有一份面板数据（30*6=180），其中有3个控制变量即x1,x2和x3，门槛变量为threshold_var，核心解释变量为cor_var，因变量Y。

提示：

• 有时候核心解释变量就是门槛变量，此时整理数据时可直接复制一列即可；

• 控制变量可有可无，具体似研究而定

• 是否面板数据均可使用SPSSAU完成门槛模型

2 理论

门槛回归模型时，以基础的单一门槛模型为例（双门槛/三门槛完全类似），其数学模型如下： Y = β1 * X * I(Q ≤ γ) + β2 * X * I(Q > γ) + ε

上式中，Y即因变量（被解释变量），X为核心解释变量，Q为门槛变量，γ为门槛值，I(Q ≤ γ)表示门槛变量小于等于门槛值（如果小于等于则为1否则为0），I(Q > γ) 表示门槛变量大于门槛值（如果大于则为1否则为0），β1和β2为回归系数，ε为残差项。

当然实际中还有其它的自变量（也或者称控制变量）纳入模型中，并且可能考虑面板数据等，会有更多数学符号来标识，但其实质数学原理即为上述。

比如β1的回归系数大于0且呈现出显著性，则意味着‘小于等于门槛值前提时’，核心变量对于Y产生显著的正向影响；类似地如果β2的回归系数大于0且呈现出显著性，则意味着‘大于门槛值前提时’，核心变量对于Y产生显著的正向影响。

提示：分析上，首先应该关注于是否找到显著的门槛值，即应该使用单一/双门槛/三门槛，也或者不适用于门槛模型；接着再进一步分析；

分析上，有可能找到门槛值后，将门槛变量按门槛值划分为几组，并且使用新的变量来标识（可通过SPSSAU的数据编码功能完成），然后再进一步使用比如分组回归，也或者筛选出某个区间后进行分析，以进一步探讨稳健性等。

3 操作

本案例操作截图和说明分别如下：

自变量X框可放入多项，如果实际研究中并没有则不放入。门槛变量需要放入，核心解释变量为1项，当前数据是面板格式，因而放入id和time到对应框中。

关于‘模型’：SPSSAU默认是进行‘单一门槛’，当然也可直接选择‘双重门槛’或‘三重门槛’； 从分析角度上看，通常首先判断是否有‘单一门槛’，如果有再进一步使用‘双重门槛’或者‘三重门槛’； 如果没有‘单一门槛’则通常意味着没有门槛效应。

关于‘网格搜索’和‘Bootstrap次数’：‘网格搜索’是用于算法遍历查找最优门槛值时的参数值，其意义并不大，但该参数值越大时，遍历会越精细化，通常默认就好，SPSSAU会自动判断网络搜索次数，并且在输出结果中展示该参数的具体值； 关于‘Bootstrap次数’，其是进行门槛值的置信区间时使用，通常默认即可。

4 SPSSAU输出结果

SPSSAU中进行门槛回归时，其共输出7个表格，分别说明如下：

项	名称	说明
1	门槛模型基本信息	基本参数情况说明等，包括风格搜索次数，Bootstrap抽样次数等信息
2	门槛估计值	核心结果表格，其展示计算得到的门槛值及其Bootstrap 95%置信区间
3	门槛模型检验	核心结果表格，其展示门槛值是否通过检验
4	门槛模型比较	如果进行多项门槛回归，并且需要对比模型优劣找出最佳门槛值时使用
5	门槛模型结果	门槛模型回归结果
6	门槛模型结果-简化格式	门槛模型结果的简化表格格式
7	样本缺失情况汇总	展示分析数据是否有缺失等

提示：

通常分析上，首先查看‘门槛模型检验’，用于判断模型是否有着‘门槛效应’，只有模型有着门槛效应后才能进一步分析，否则应该使用普通回归模型比如OLS回归等。

如果分析目的是多次对比各种门槛模型，那应该更多关于‘门槛模型比较’这个表格，其用于展示模型质量指标，包括RSS、MSE、R方、AIC和BIC等，RSS和MSE均为越小越好，R方一般越大越好，AIC和BIC这两个指标用于对比不同模型的优劣，该两个指标均为数值越小，模型越优，以及该两个指标相对更倾向于选择更简约的模型。

5文字分析

上表格展示门槛回归分析时的各项参数信息。网格搜索次数时，SPSSAU自动结合样本量信息等设置最优搜索次数，通常情况下200或300次较多；Bootstrap抽样次数时，SPSSAU自动结合样本量信息等设置最佳次数，通常情况下200或300次较多。

上表格展示门槛估计值结果及其Bootstrap自抽样置信区间；门槛值是结合门槛变量和网格搜索得到的估计值，其是模型中用于划分不同机制或状态的临界点；单一门槛模型时只会有1个门槛值（Th-1)；双重门槛模型时会额外新出2个门槛值（Th-21和Th-22)；三重门槛模型时会额外新出1个门槛值（Th-3)；Bootstrap自抽样置信区间描述门槛值估计的不确定性范围，如果该置信区间范围越小（越窄）意味着该门槛值越精准，反之则意味着该门槛值越不稳定。

上表格展示出本案例时得到的门槛值为5.772，但该门槛值是否有意义，还需要查阅‘门槛模型检验’表格。

上表格展示门槛模型进行检验，提供假设检验结果及相关指标等；RSS值（Residual Sum of Squares，残差平方和），其用于衡量模型拟合优度，该值越小，表示模型的拟合效果越好，其可用于比较不同模型的拟合效果，RSS 较小的模型通常更优； MSE值（Mean Squared Error，均方误差），其为 RSS 值除以自由度计算得到，其进一步量化了模型预测值与实际值之间的平均差异，MSE 值越小，表示模型的预测精度越高；F值和p值，其用于检验模型的整体显著性，通常情况下p值小于0.05，则意味着该模型有意义；另外临界值也可用于在不同显著性水平下判断模型显著性的标准。

从上表可知，单一门槛回归模型呈现出0.001水平的显著性，意味着单一门槛模型构建具有有效性，也即说明门槛值为5.772具有统计意义，因此可按5.772分为两组，分别是门槛变量<5.772和门槛变量>=5.772。

上表格展示模型选择和质量评估，通过多个统计指标比较不同复杂度门槛模型的拟合效果；RSS (残差平方和)表示模型无法解释的变异部分，RSS = Σ(实际值 - 预测值)^2，该值越小，模型拟合越好，该指标随门槛数量增加通常递减（更复杂模型拟合更好）；MSE (均方误差)表示平均预测误差，MSE = RSS/自由度，该值是衡量模型预测精度的标准化指标，该值越小，预测越准确，该指标消除了样本量影响，便于比较；

R方表示模型解释变异的比例，该值越大，模型解释力越强，需要注意复杂模型R方通常更高，但可能过拟合；AIC 和BIC 这两个指标用于对比不同模型的优劣，该两个指标均为数值越小，模型越优，以及该两个指标相对更倾向于选择更简约的模型。

上展示门槛回归模型的估计结果，反映了不同门槛区间下变量的影响效应；门槛回归结果能够揭示传统线性模型无法捕捉的非线性关系，为政策制定和理论发展提供更精确的实证依据，表格中模型截距项通常无意义，自变量回归系数（若有）表示其对因变量的直接影响情况；

核心解释变量*I(门槛变量<5.772)表示门槛变量小于5.772时的情况，表格中显示其回归系数为0.646并且呈现出0.01水平的显著性，意味着核心解释变量在门槛变量小于5.772时，其会对Y产生显著的正向影响关系。

类似地，核心解释变量*I(门槛变量≥5.772) 表示门槛变量大于等于于5.772时的情况，表格中显示其回归系数为1.503并且呈现出0.01水平的显著性，意味着核心解释变量在门槛变量大于等于5.772时，其会对Y产生显著的正向影响关系。对比来看可以看出，门槛变量在更大的区间时，核心解释变量对于Y的影响幅度会更大，其回归系数均呈现出0.01水平的显著性，但其回归系数值会更大，即影响幅度更高。

6 剖析

涉及以下几个关键点，分别如下：

门槛模型应该设置那种？ 门槛回归时建议先从‘单一门槛’开始，如果存在单一门槛，那么接着‘双重门槛’，再接着‘三重门槛’，但这并无固定标准，实际判断是否有门槛效应，应该是检验指标为准。

核心解释变量和门槛变量可以相同吗？ 门槛回归研究时，有时核心解释变量就是门槛变量，这是正常的，上传数据时多复制一列完全相同的即可。

得到门槛值有什么意义？ 门槛值得到后，可对数据分组（比如使用SPSSAU中数据处理里面的数据编码之范围编码），将数据分为不同组别，然后再进一步使用其它研究方法，比如分组回归；也或者可以考虑稳健性检验时，筛选出不同组别时进行某一分析，然后合并不同筛选且分析得到的结果，来对比结论的稳健性等。

SPSSAU中门槛回归的算法原理？

SPSSAU参考文献和Stata包xtthres完成算法，并且进行校检一致性，需要提示的是由于有网格搜索和Bootstrap抽样这两项，以及网格搜索的精度和边界判断等细节的不一致，结果会有小许gap，其是在基于完全相同算法前提时也一定会发生的正常现象。

Hansen, B. E. (1999). Threshold effects in non-dynamic panels: Estimation, testing, and inference. *Journal of Econometrics*, 93(2), 345-368.