“欧拉角”就是“先绕某个轴转、再绕另一个轴转、再绕第三个轴转”这三次旋转的角度；
“旋转矩阵”就是把这三次旋转合成后的一次大旋转，用一个$3\times 3$矩阵来表示。
两者是一一对应（除了奇异情况）。

下面我会从基础一路推到公式推导和互相转换，尽量写到“看完就能自己推一遍”。

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一、3D 旋转与旋转矩阵的基本概念

在三维空间中，一个点的坐标可以写成列向量：

$$\mathbf{p}=\left[\begin{array}{c}xyz\end{array}\right]$$

一个“纯旋转”是一个线性变换，它满足：

1. 长度不变（保持向量模长）
2. 夹角不变（保持角度）

这样的线性变换可以写成矩阵乘法：

$${\mathbf{p}}^{\prime }=R\mathbf{p}$$

其中$R$就是一个$3\times 3$的旋转矩阵。
满足两个关键条件：

1. 正交：

$$R^{\top }R=I$$

2. 行列式为$1$：

$$\det (R)=1$$

所有这样的矩阵构成的集合叫做$SO(3)$（三维特殊正交群）。

欧拉角的意义就是：
用三个实数（三个角度）来参数化$SO(3)$里的一个矩阵$R$。

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二、绕坐标轴的“基本旋转矩阵”

我们先规定右手坐标系，坐标轴分别为$X,Y,Z$。
定义三个“基本旋转”：

• 绕$X$轴旋转角度$\varphi$（通常叫 roll）
• 绕$Y$轴旋转角度$\theta$（通常叫 pitch）
• 绕$Z$轴旋转角度$\psi$（通常叫 yaw）

对应的三个基本旋转矩阵分别是：

1. 绕$X$轴旋转$\varphi$：$R_x(\varphi )$

$$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 00& \cos \varphi & -\sin \varphi 0& \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$

含义：$X$坐标不变，只在$Y$–$Z$平面内转一圈。

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2. 绕$Y$轴旋转$\theta$：$R_y(\theta )$

$$R_y(\theta )=\left[\begin{array}{ccccccc}\cos \theta & 0& \sin \theta 0& 1& 0-\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]$$

含义：$Y$坐标不变，只在$X$–$Z$平面内转。

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3. 绕$Z$轴旋转$\psi$：$R_z(\psi )$

$$R_z(\psi )=\left[\begin{array}{ccccccc}\cos \psi & -\sin \psi & 0\sin \psi & \cos \psi & 00& 0& 1\end{array}\right]$$

含义：$Z$坐标不变，只在$X$–$Y$平面内转。

关键点：
任意一个三维旋转，都可以写成某个顺序的这三种基本旋转之积，比如
$$R=R_z(\psi )R_y(\theta )R_x(\varphi )$$
这三个角$\varphi ,\theta ,\psi$就是一种欧拉角（更准确说是 Tait–Bryan 角）表示。

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三、什么是“欧拉角”？——就是“先转、再转、再转”的顺序规则

欧拉角的核心：

1. 选定一个旋转轴序列，比如$Z\to Y\to X$，或者$Z\to X\to Z$等；
2. 按照这个固定顺序，依次绕这些轴旋转三个角度；
3. 合成后的总旋转就是一个旋转矩阵$R$；
4. 这三个角度就是欧拉角。

注意有两个常见概念：

• Proper Euler 角：三个旋转中，头尾绕的是“同一个轴”（比如$Z!-!X!-!Z$）
• Tait–Bryan 角：三个轴互不相同（比如$Z!-!Y!-!X$，也就是常说的 yaw–pitch–roll）

在机器人/计算机视觉/无人机里最常用的是 Tait–Bryan 的$Z!-!Y!-!X$顺序（yaw–pitch–roll）。

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四、一定要说清楚：“先后顺序”和“内禀/外禀”

这也是你问题里“先转”的关键所在。

1. 外禀（extrinsic）旋转

• 每次都绕固定的世界坐标轴转
• 比如：先绕世界$X$轴，再绕世界$Y$轴，再绕世界$Z$轴

2. 内禀（intrinsic）旋转

• 每次都绕物体自身当前的坐标轴转
• 比如：先绕自身$Z$轴，再绕当前$Y$轴，再绕当前$X$轴

数学上，有一个漂亮的结论：

“内禀 $Z!-!Y!-!X$ 顺序 == 外禀 $X!-!Y!-!Z$ 逆序”

所以通常我们只要牢牢记住矩阵乘法的顺序就行：

• 如果写成右乘向量${\mathbf{p}}^{\prime }=R\mathbf{p}$：

  • “先绕$X$再绕$Y$再绕$Z$” → 矩阵$R=R_z{R}_y{R}_x$
  • “最后发生的旋转，排在矩阵乘积的最左边”

下面我们选一个在工程里最常用的约定：
内禀$Z!-!Y!-!X$，也就是航天里的 yaw–pitch–roll

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五、例子：ZYX 欧拉角（yaw–pitch–roll） → 旋转矩阵

我们设：

• 滚转角（roll）：$\varphi$，绕$X$轴
• 俯仰角（pitch）：$\theta$，绕$Y$轴
• 偏航角（yaw）：$\psi$，绕$Z$轴

采用**内禀$Z\to Y\to X$**顺序（相当于外禀$X\to Y\to Z$逆序），
通常写：

$$R(\varphi ,\theta ,\psi )=R_z(\psi ),R_y(\theta ),R_x(\varphi )$$

第一步：写出三个基本矩阵

刚才已经给出了，这里只写一遍方便观察：

$$R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & -\sin \varphi \\ 0& \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$

$$R_y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]$$

$$R_z(\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & -\sin \psi & 0\\ \sin \psi & \cos \psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

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第二步：先算 $R_y(\theta )R_x(\varphi )$

$$R_y(\theta )R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \varphi & -\sin \varphi \\ 0& \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$

逐项相乘（我写结果，细节你可以自己按行乘列验证）：

$$R_y(\theta )R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta \sin \varphi & \sin \theta \cos \varphi \\ 0& \cos \varphi & -\sin \varphi \\ -\sin \theta & \cos \theta \sin \varphi & \cos \theta \cos \varphi \end{array}\right]$$

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第三步：再左乘 $R_z(\psi )$ 得到总矩阵

$$R=R_z(\psi ),R_y(\theta ),R_x(\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & -\sin \psi & 0\\ \sin \psi & \cos \psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta \sin \varphi & \sin \theta \cos \varphi \\ 0& \cos \varphi & -\sin \varphi \\ -\sin \theta & \cos \theta \sin \varphi & \cos \theta \cos \varphi \end{array}\right]$$

同样逐项相乘，最后得到：

$$R(\varphi ,\theta ,\psi )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi \cos \theta & \cos \psi \sin \theta \sin \varphi -\sin \psi \cos \varphi & \cos \psi \sin \theta \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi \\ \sin \psi \cos \theta & \sin \psi \sin \theta \sin \varphi +\cos \psi \cos \varphi & \sin \psi \sin \theta \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi \\ -\sin \theta & \cos \theta \sin \varphi & \cos \theta \cos \varphi \end{array}\right]$$

这就是ZYX（yaw–pitch–roll）欧拉角到旋转矩阵的关系。

给它一个更紧凑的记号：设

• $c_{\varphi }=\cos \varphi ,s_{\varphi }=\sin \varphi$
• $c_{\theta }=\cos \theta ,s_{\theta }=\sin \theta$
• $c_{\psi }=\cos \psi ,s_{\psi }=\sin \psi$

则：

$$R=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\psi }{c}_{\theta }& c_{\psi }{s}_{\theta }{s}_{\varphi }-s_{\psi }{c}_{\varphi }& c_{\psi }{s}_{\theta }{c}_{\varphi }+s_{\psi }{s}_{\varphi }\\ s_{\psi }{c}_{\theta }& s_{\psi }{s}_{\theta }{s}_{\varphi }+c_{\psi }{c}_{\varphi }& s_{\psi }{s}_{\theta }{c}_{\varphi }-c_{\psi }{s}_{\varphi }\\ -s_{\theta }& c_{\theta }{s}_{\varphi }& c_{\theta }{c}_{\varphi }\end{array}\right]$$

从欧拉角到旋转矩阵的核心：
按顺序写出绕各轴的基本矩阵，再按“最后发生的旋转排在最左边”的原则相乘，就得到旋转矩阵。
每个矩阵元素都是欧拉角三角函数的组合。

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六、反过来：从旋转矩阵 $R$ 求欧拉角 $(\varphi ,\theta ,\psi )$

设上面的矩阵记为：

$$R=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$

根据我们推出来的形式，有：

• $r_{31}=-\sin \theta$
• $r_{32}=\cos \theta \sin \varphi$
• $r_{33}=\cos \theta \cos \varphi$
• $r_{21}=\sin \psi \cos \theta$
• $r_{11}=\cos \psi \cos \theta$

在一般（不退化）情况下，$\cos \theta \ne 0$，我们可以这样解：

1. 求$\theta$（pitch）

由

$$r_{31}=-\sin \theta$$

得到

$$\theta =\arcsin (-r_{31})$$

或者写成

$$\theta =-\arcsin (r_{31})$$

（两种写法等价）

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2. 求$\varphi$（roll）

看$r_{32}$和$r_{33}$：

$$r_{32}=\cos \theta \sin \varphi ,r_{33}=\cos \theta \cos \varphi$$

当$\cos \theta \ne 0$时，两边同时除以$\cos \theta$：

$$\frac{r_{32}}{\cos \theta }=\sin \varphi ,\frac{r_{33}}{\cos \theta }=\cos \varphi$$

于是可以用$atan2$函数（考虑象限）：

$$\varphi =atan2(r_{32},r_{33})$$

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3. 求$\psi$（yaw）

看$r_{21}$和$r_{11}$：

$$r_{21}=\sin \psi \cos \theta ,r_{11}=\cos \psi \cos \theta$$

同样除以$\cos \theta$：

$$\frac{r_{21}}{\cos \theta }=\sin \psi ,\frac{r_{11}}{\cos \theta }=\cos \psi$$

于是：

$$\psi =atan2(r_{21},r_{11})$$

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4. 汇总：ZYX 欧拉角反解公式（一般情况）

当$\cos \theta \ne 0$时（也就是$\theta \ne \pm \frac{\pi }{2}$）：

$$\theta =\arcsin (-r_{31})$$

$$\varphi =atan2(r_{32},r_{33})$$

$$\psi =atan2(r_{21},r_{11})$$

注意：

• 这里的反解是假定你使用的旋转矩阵就是
  $$R=R_z(\psi )R_y(\theta )R_x(\varphi )$$
• 如果顺序不同（比如$R=R_x{R}_y{R}_z$），整个元素对应关系都会变，反解公式也要按新顺序重新推。

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七、“万向节锁”（Gimbal Lock）——欧拉角的坑

前面假设$\cos \theta \ne 0$，即$\theta \ne \pm \frac{\pi }{2}$。
当$\theta =\pm \frac{\pi }{2}$时，会发生：

• $\cos \theta =0$
• 你会发现矩阵里有一些信息“合并”到一起，导致不同的$(\varphi ,\psi )$组合能产生同一个$R$。

这就是所谓的万向节锁现象：
三个转轴中，有两个轴变得共线，少了一个自由度。

在这种情况下，我们只能选一种约定来处理，例如：

• 当$\theta =+\frac{\pi }{2}$时，固定$\varphi =0$，把所有绕$X$和$Z$的旋转合到$\psi$里；
• 或者反过来固定$\psi =0$，由$r_{12},r_{13}$之类的元素反求$\varphi$。

但是无论哪种约定，说明一个事实：

欧拉角与旋转矩阵不是“全局一一对应”的，
在某些姿态（奇异点）上，一组$R$对应无穷多组$(\varphi ,\theta ,\psi )$。

这也是为什么在很多高精度/优化场景中，更喜欢用四元数或直接操作$R$，而不是欧拉角。

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八、换一个“先转顺序”会怎样？

刚才我们用的是：

$$R=R_z(\psi )R_y(\theta )R_x(\varphi )$$

如果你改成先绕$X$再绕$Y$再绕$Z$（外禀），矩阵就变成：

$$R^{\prime }=R_x(\alpha )R_y(\beta )R_z(\gamma )$$

那么$R^{\prime }$的每一个元素都会是$\alpha ,\beta ,\gamma$的不同组合。
推导方式完全一样：写出$R_x,R_y,R_z$，按顺序相乘即可。
关键是：顺序一变，矩阵形式就完全不同。

所以在工程里，大家讲“欧拉角”的时候，一定会同时说清楚顺序，例如：

• ZYX（yaw–pitch–roll）
• XYZ（roll–pitch–yaw）
• ZXZ、ZYZ 等等
  不说顺序就说欧拉角，是不完整甚至是错误的。

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九、欧拉角与“刚体位姿变换矩阵”的关系

在机器人、计算机视觉里，经常用$4\times 4$的齐次变换矩阵表示刚体位姿：

$$T=\left[\begin{array}{ccc}R& \mathbf{t}{0}^{\top }& 1\end{array}\right]$$

其中：

• $R$ 是$3\times 3$的旋转矩阵（刚才欧拉角那一套的结果）
• $\mathbf{t}=\left[\begin{array}{c}{t}_x{t}_y{t}_z\end{array}\right]$ 是平移向量

欧拉角只负责旋转部分：

1. 给定欧拉角$(\varphi ,\theta ,\psi )$，先按顺序求出$R$
2. 再把$R$填进$T$的左上角，配上平移$\mathbf{t}$

$$T(\varphi ,\theta ,\psi ,\mathbf{t})=\left[\begin{array}{ccc}R(\varphi ,\theta ,\psi )& \mathbf{t}{0}^{\top }& 1\end{array}\right]$$

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十、关系小结

你问“欧拉角与先转变换矩阵之间的关系”，可以总结成以下几个层次：

1. 旋转矩阵层面

   • 任意三维旋转可以用一个$3\times 3$的旋转矩阵$R$表示，满足
     $$R^{\top }R=I,\det (R)=1$$

2. 基本旋转层面

   • 绕三个坐标轴的基本旋转矩阵$R_x(\cdot ),R_y(\cdot ),R_z(\cdot )$可以显式写出；

3. 欧拉角定义层面

   • 选定一个旋转轴序列（比如 ZYX），
   • 按这个顺序做三次基本旋转，
   • 三个角度$(\varphi ,\theta ,\psi )$就是欧拉角；
   • 总旋转矩阵就是这些基本矩阵的乘积：
     $$R(\varphi ,\theta ,\psi )=R_z(\psi )R_y(\theta )R_x(\varphi )$$

4. 从欧拉角到矩阵

   • 展开上述乘积，得到矩阵元素是$\sin ,\cos$的组合：
     $$R=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\psi }{c}_{\theta }& c_{\psi }{s}_{\theta }{s}_{\varphi }-s_{\psi }{c}_{\varphi }& c_{\psi }{s}_{\theta }{c}_{\varphi }+s_{\psi }{s}_{\varphi }\\ s_{\psi }{c}_{\theta }& s_{\psi }{s}_{\theta }{s}_{\varphi }+c_{\psi }{c}_{\varphi }& s_{\psi }{s}_{\theta }{c}_{\varphi }-c_{\psi }{s}_{\varphi }\\ -s_{\theta }& c_{\theta }{s}_{\varphi }& c_{\theta }{c}_{\varphi }\end{array}\right]$$

5. 从矩阵到欧拉角

   • 反过来从$r_{ij}$中解出$(\varphi ,\theta ,\psi )$：
     $$\theta =\arcsin (-r_{31}),\varphi =atan2(r_{32},r_{33}),\psi =atan2(r_{21},r_{11})$$
   • 在$\theta =\pm \frac{\pi }{2}$时会出现奇异（万向节锁）。

6. 顺序的重要性

   • 换了旋转顺序（比如 XYZ, ZXY, ZXZ 等），
   • 总矩阵的形式与反解公式都会改变；
   • 因此说“欧拉角”必须指定具体顺序。