1. 状态价值函数 $V_{\pi }(s)$

状态价值函数 $V_{\pi }(s)$ 用来衡量在状态 $s$ 下，遵循策略 $\pi$ 时，代理（agent）从该状态出发能获得的期望回报。

定义：

$$V_{\pi }(s)=\mathbb{E}\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{r}_t\mid s_0=s,\pi \right]$$

这里的 $\gamma$ 是折扣因子，$r_t$ 是时刻 $t$ 的奖励，$s_0=s$ 表示从状态 $s$ 开始，按照策略 $\pi$ 进行行动，期望获得的累计回报。

• 也就是说，状态价值函数 $V_{\pi }(s)$ 是在给定策略下，从状态 $s$ 出发，通过执行该策略得到的期望累积回报。

2. 状态-动作价值函数 $Q_{\pi }(s,a)$

状态-动作价值函数 $Q_{\pi }(s,a)$ 评估的是：在状态 $s$ 下，执行某个特定的动作 $a$，然后遵循策略 $\pi$，能获得的期望回报。

定义：

$$Q_{\pi }(s,a)=\mathbb{E}\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{r}_t\mid s_0=s,a_0=a,\pi \right]$$

在这里，$a_0=a$ 表示在状态 $s$ 时，代理选择动作 $a$，然后根据策略 $\pi$ 继续行动，得到的期望回报。

• 状态-动作价值函数 $Q_{\pi }(s,a)$ 评估的是从状态 $s$ 出发并执行某个特定动作 $a$ 后，后续的回报。

3. 它们的区别

• 状态价值函数 $V_{\pi }(s)$ 是一个 状态 到 期望回报 的映射，它描述的是从状态 $s$ 开始，按照策略 $\pi$ 行动时的回报。它只关注状态本身，不考虑具体的动作。

• 状态-动作价值函数 $Q_{\pi }(s,a)$ 是一个 状态-动作对 到 期望回报 的映射，它描述的是在状态 $s$ 下，选择特定的动作 $a$ 后，按照策略 $\pi$ 行动时的期望回报。它考虑了在某个状态下选择具体动作的影响。

4. 它们的关系

• $V_{\pi }(s)$ 与 $Q_{\pi }(s,a)$ 之间的关系：

  对于任意状态 $s$，状态价值函数 $V_{\pi }(s)$ 可以通过状态-动作价值函数 $Q_{\pi }(s,a)$ 来计算。实际上，状态价值函数是状态-动作价值函数的加权平均：

  $$V_{\pi }(s)=\sum _{a\in A}\pi (a|s)Q_{\pi }(s,a)$$

  这里，$\pi (a|s)$ 是在状态 $s$ 下采取动作 $a$ 的概率（即策略 $\pi$ 的定义），$Q_{\pi }(s,a)$ 是状态 $s$ 下执行动作 $a$ 的价值。

  换句话说，状态价值函数是通过对每个动作的状态-动作价值函数加权平均得到的。

• 同样地，从 $V_{\pi }(s)$ 出发，可以通过选取最大值来得到 $Q_{\pi }(s,a)$：

  $$Q_{\pi }(s,a)=r(s,a)+\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)V_{\pi }(s^{\prime })$$

  这表示，状态-动作价值函数不仅考虑当前的即时奖励 $r(s,a)$，还要加上在下一状态 $s^{\prime }$ 上的期望价值 $V_{\pi }(s^{\prime })$。

5. 为什么它们看起来没有区别？

从定义上看，状态价值函数和状态-动作价值函数看起来是有区别的，但它们其实是紧密相关的。状态价值函数只是状态-动作价值函数在给定策略下的加权平均。在很多情况下，通过 状态-动作价值函数 我们能够得到 状态价值函数，反之亦然。

• 如果你知道了状态-动作价值函数 $Q_{\pi }(s,a)$，可以通过加权求和得到状态价值函数 $V_{\pi }(s)$。
• 反之，如果你知道了状态价值函数 $V_{\pi }(s)$，可以通过选择最优动作来得到相应的状态-动作价值函数 $Q_{\pi }(s,a)$。

总结

• 状态价值函数 $V_{\pi }(s)$ 是状态到期望回报的映射，只考虑状态，不考虑动作。
• 状态-动作价值函数 $Q_{\pi }(s,a)$ 是状态-动作对到期望回报的映射，考虑了具体的动作。
• 它们之间的关系是：状态价值函数是状态-动作价值函数的加权平均，而状态-动作价值函数可以通过状态价值函数来进行更新。

通过这些关系，强化学习算法可以通过计算 状态-动作价值函数 来最终确定最优策略。