收到了，爬楼梯（Climbing Stairs）是动态规划入门的经典问题。您提到“进阶优化”，通常指的是在标准问题的基础上，考虑更复杂的步长限制，或者要求空间复杂度的极致优化。

我们先回顾标准问题，然后重点分析两种“进阶优化”的思路。

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💡 题目分析：爬楼梯（Climbing Stairs）

1. 标准问题回顾

问题： 假设你正在爬楼梯。楼梯有 $n$ 级台阶。每次你可以爬 1 级或者 2 级台阶。问：有多少种不同的方法可以爬到楼顶？

核心思路： 这是一个典型的斐波那契（Fibonacci）数列问题。

• 到第 $n$ 级台阶的方法数 $DP[n]$：
  • 只能从第 $n-1$ 级爬 1 步上来。
  • 或者从第 $n-2$ 级爬 2 步上来。
• 状态转移方程： $DP[n]=DP[n-1]+DP[n-2]$
• 边界条件： $DP[1]=1$，$DP[2]=2$。

2. 进阶优化方向

进阶优化通常指向以下两个方向：

1. 方法一（复杂度优化）： $O(n)$ 时间复杂度，但空间复杂度优化到 $O(1)$。
2. 方法二（泛化问题）： 每次可以爬 $k$ 级台阶，即步长范围是 $1,2,\dots ,k$。

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🚀 进阶优化一：空间复杂度优化到 $O(1)$

🎯 目标与原理

• 目标： 将标准爬楼梯问题的时间复杂度保持 $O(n)$，空间复杂度优化到 $O(1)$。
• 原理： 由于 $DP[n]$ 只依赖于前两个状态 $DP[n-1]$ 和 $DP[n-2]$，我们不需要存储整个 $DP$ 数组，只需要用三个变量（或两个变量）来滚动更新状态。这被称为滚动数组优化。

💻 Python 代码实现

class Solution:
    def climbStairs_O1(self, n: int) -> int:
        """
        爬楼梯问题，时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)。
        """
        if n == 1:
            return 1
        
        # 定义两个变量存储前两步的状态：
        # one_step_before 相当于 DP[i-1]
        # two_steps_before 相当于 DP[i-2]
        two_steps_before = 1  # 对应 DP[1] = 1
        one_step_before = 2   # 对应 DP[2] = 2
        
        # 从 n=3 开始迭代计算
        for _ in range(3, n + 1):
            # current 相当于 DP[i] = DP[i-1] + DP[i-2]
            current = one_step_before + two_steps_before
            
            # 滚动更新状态，为下一次迭代做准备：
            # 原来的 DP[i-1] 变成了新的 DP[i-2]
            two_steps_before = one_step_before
            # 原来的 DP[i] 变成了新的 DP[i-1]
            one_step_before = current
            
        return one_step_before # n 级台阶的方法数

# 复杂度分析：
# 时间复杂度：O(n)，循环 n-2 次。
# 空间复杂度：O(1)，只使用了常数个变量。

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🚀 进阶优化二：泛化问题（步长范围 $1\dots k$）

🎯 目标与分析

• 问题： 每次可以爬 $1,2,\dots ,k$ 级台阶，问：有多少种不同的方法可以爬到 $n$ 级楼顶？
• 核心思路： 这是一个变种的动态规划问题。到第 $n$ 级的方法数，是从前 $k$ 级台阶以不同的步长爬上来的方法数之和。

状态转移方程：

$$DP[n]=DP[n-1]+DP[n-2]+\cdots +DP[n-k]$$

考察的知识点

• 泛化 DP：能够从 $DP[n]=DP[n-1]+DP[n-2]$ 推广到任意 $k$ 步长求和。
• 边界处理：需要正确初始化 $DP[0]$ 到 $DP[k-1]$ 的值。
• 滑动窗口优化（选学）： 可以利用前缀和（Prefix Sum）或滑动窗口来将内层循环优化，但通常仍是 $O(n\cdot k)$ 或 $O(n)$。

💻 Python 代码实现（$O(n\cdot k)$ 基础实现）

class Solution:
    def climbStairs_k(self, n: int, k: int) -> int:
        """
        每次可爬 1 到 k 级台阶，计算到达 n 级的方法数。
        时间复杂度：O(n * k)
        空间复杂度：O(n)
        """
        if n == 0: return 1 # 到第0级只有1种方法（原地不动）
        
        # DP[i] 表示到达第 i 级台阶的方法数
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = 1 # 边界条件：到达第0级的方法数是 1 (作为起点)

        for i in range(1, n + 1):
            # 遍历所有可能的步长 j (1 到 k)
            for j in range(1, k + 1):
                # 如果 i - j >= 0，说明可以从 i - j 级一步跳上来
                if i - j >= 0:
                    dp[i] += dp[i - j]
                    
        return dp[n]

# 复杂度分析：
# 时间复杂度：O(n * k)，外层循环 n 次，内层循环 k 次。
# 空间复杂度：O(n)，存储 DP 数组。

📈 进一步优化（$O(n)$ 时间复杂度）

当 $k$ 很大时，$O(n\cdot k)$ 可能会超时。我们可以通过观察 $DP[n]$ 和 $DP[n-1]$ 的关系，将内层循环优化掉。

我们有：

1. $DP[n]=DP[n-1]+DP[n-2]+\cdots +DP[n-k]$
2. $DP[n-1]=DP[n-2]+DP[n-3]+\cdots +DP[n-k]+DP[n-k-1]$ (假设 $n-1\ge k$)

将 (2) 代入 (1)：
$$DP[n]=2\cdot DP[n-1]-DP[n-k-1]$$

利用这个递推关系，可以将时间复杂度降为 $O(n)$。

class Solution:
    def climbStairs_k_optimized(self, n: int, k: int) -> int:
        """
        O(n) 时间复杂度的优化解法。
        """
        if n == 0: return 1
        
        # DP[i] 表示到达第 i 级台阶的方法数
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = 1 

        # 使用 O(n * k) 的方式计算前 k 步（也可以用 O(n) 的方式）
        for i in range(1, n + 1):
            # 计算 DP[i] 的累加和
            if i <= k:
                # 当 i <= k 时，DP[i] = DP[i-1] + ... + DP[0]
                dp[i] = sum(dp[:i]) + dp[0] # i=1时 dp[1]=dp[0]+dp[0]=2, 应该是1，修正如下：
                dp[i] = sum(dp[0:i])
                if i == 1: dp[i] = 1 # 修正边界，dp[0] 应该只有在作为求和项出现，不能多次算入
                if i > 1: dp[i] = sum(dp[0:i])
                
            else:
                # O(1) 转移：DP[i] = 2 * DP[i-1] - DP[i-k-1]
                # 这是最关键的优化步骤
                dp[i] = 2 * dp[i - 1] - dp[i - k - 1] 
                
        return dp[n]

(注：上面的 $O(n)$ 优化实现需要更精细的边界处理，尤其在 $i\le k$ 的情况。在实际编程中，如果 $k$ 不是很大，直接使用 $O(n\cdot k)$ 基础实现代码会更简洁和安全。)

核心记忆点：

进阶方向	复杂度	核心思路	记忆关键
标准问题	$O(n)$, $O(1)$	斐波那契数列，滚动数组	prev = current + prev_prev
泛化问题 ($1\dots k$)	$O(n\cdot k)$	$DP[n]={\sum }_{j=1}^{k}DP[n-j]$	K 步求和，内层循环 K 次
泛化问题优化	$O(n)$	$DP[n]=2\cdot DP[n-1]-DP[n-k-1]$	滑动窗口差分（通过相减消去大部分项）