从公式到对抗：揭秘生成对抗网络（GAN）的训练博弈之路

如果你对AI生成的逼真图像、视频甚至文字有所了解，那一定听说过**生成对抗网络（GAN）**的名号。它的核心魅力，都藏在下面这个看似复杂的公式里：

$$\underset{G}{\min }\underset{D}{\max }V(D,G)={\mathbb{E}}_{x\sim p_{\text{data}}(x)}\left[\log D(x)\right]+{\mathbb{E}}_{z\sim p_z(z)}\left[\log (1-D(G(z)))\right]$$

今天，我们就从这个公式出发，一步步拆解GAN的训练逻辑，看看这对“对抗搭档”是如何在博弈中共同成长的。

一、公式拆解：GAN的“对抗战场”

这个公式是GAN的目标函数，它定义了生成器 $G$ 和判别器 $D$ 之间的“博弈规则”：

1. 博弈逻辑：${\min }_G{\max }_D$

这是极小极大博弈的体现：

• 先让判别器 $D$ 最大化目标（拼命“打假辨真”）；
• 再让生成器 $G$ 最小化目标（拼命“以假乱真”）。

2. 价值函数：$V(D,G)$的两重对抗

$V(D,G)$是两者对抗的“战场”，由两部分期望损失组成：

（1）真实样本项：${\mathbb{E}}_{x\sim p_{\text{data}}(x)}\left[\log D(x)\right]$

• ${\mathbb{E}}_{x\sim p_{\text{data}}(x)}$：对真实数据分布 $p_{\text{data}}(x)$ 取期望，$x$ 是真实样本（如真实照片、文本）。
• $D(x)$：判别器对真实样本的输出，取值$(0,1)$，表示“$x$是真实样本”的概率。
• $\log D(x)$：若$D(x)$接近1（判别器准确识别真实样本），该项接近0；若$D(x)$接近0（判别器误判真实样本为假），该项趋向$-\infty$。
• 意义：判别器希望这一项越大越好。

（2）生成样本项：${\mathbb{E}}_{z\sim p_z(z)}\left[\log (1-D(G(z)))\right]$

• ${\mathbb{E}}_{z\sim p_z(z)}$：对噪声分布 $p_z(z)$ 取期望，$z$ 是随机噪声（如高斯分布向量）。
• $G(z)$：生成器将噪声转化为“假样本”（如假照片、假文本），试图模仿真实数据。
• $D(G(z))$：判别器对生成样本的输出，表示“$G(z)$是真实样本”的概率。
• $\log (1-D(G(z)))$：若$D(G(z))$接近0（判别器准确识别假样本），该项接近0；若$D(G(z))$接近1（判别器误判假样本为真），该项趋向$-\infty$。
• 意义：判别器希望这一项越大越好，生成器希望这一项越小越好。

简言之，这个公式就是一场“猫鼠游戏”：判别器$D$是“猫”，要最大化“辨真假”能力；生成器$G$是“鼠”，要最小化$D$的能力，让“假老鼠”骗过猫。

二、训练过程：交替对抗的“成长循环”

GAN的训练遵循**“先练猫，再练鼠，循环往复”**的逻辑：

阶段1：训练判别器 $D$（固定生成器 $G$）

目标：让$D$尽可能“聪明”，区分真实样本和生成样本。

1. 采样真实样本：从真实数据集中选一批样本$x$，计算${\mathbb{E}}_{x\sim p_{\text{data}}(x)}\left[\log D(x)\right]$。
2. 生成假样本：从噪声分布中选一批噪声$z$，用当前$G$生成假样本$G(z)$，计算${\mathbb{E}}_{z\sim p_z(z)}\left[\log (1-D(G(z)))\right]$。
3. 更新$D$的参数：将两项损失相加，通过梯度上升（最大化$V(D,G)$）更新$D$的神经网络参数。

阶段2：训练生成器 $G$（固定判别器 $D$）

目标：让$G$尽可能“狡猾”，生成能骗过$D$的假样本。

1. 生成假样本：从噪声分布中选一批噪声$z$，用$G$生成假样本$G(z)$。
2. 计算生成器损失：关注生成样本项${\mathbb{E}}_{z\sim p_z(z)}\left[\log (1-D(G(z)))\right]$，通过梯度下降（最小化$V(D,G)$）更新$G$的神经网络参数。
   • （实战优化：为了训练更稳定，常将损失替换为$-{\mathbb{E}}_{z\sim p_z(z)}\left[\log D(G(z))\right]$，梯度更显著）

循环迭代

重复“训练$D$ → 训练$G$”的过程，直到生成器能生成足够逼真的样本（或达到预设轮数）。

三、训练中的“攻防细节”

GAN的训练并非一帆风顺，这些细节决定了它的“战斗力”：

• 判别器的“强度平衡”：

  • 若$D$太强（对生成样本输出恒为0），生成器梯度会消失，无法学习；
  • 若$D$太弱（对真假样本判断无差异），生成器也学不到有效“造假技巧”。

• 梯度消失问题：生成器早期生成的样本很“假”，导致$\log (1-D(G(z)))$梯度极小。用$-\log D(G(z))$替代损失可缓解这一问题。

• 模式崩溃：生成器可能只生成少数“爆款假样本”（而非多样本）。可通过架构改进（如DCGAN、StyleGAN）或训练策略（小批量判别、引入噪声）来解决。

四、结语：对抗中的“共同进化”

从公式到训练过程，GAN的核心魅力在于**“对抗式共同进化”**——判别器在“打假”中更敏锐，生成器在“造假”中更逼真。正是这种博弈，让GAN能生成以假乱真的内容，在艺术创作、数据增强等领域大放异彩。

下次再看到AI生成的惊艳作品时，不妨想想背后这对“猫鼠搭档”在公式 $$\underset{G}{\min }\underset{D}{\max }V(D,G)={\mathbb{E}}_{x\sim p_{\text{data}}(x)}\left[\log D(x)\right]+{\mathbb{E}}_{z\sim p_z(z)}\left[\log (1-D(G(z)))\right]$$ 定义的战场上，经历了多少次交替训练的博弈吧！