【调和级数】P10556 [ICPC 2024 Xi‘an I] Make Them Straight|普及+
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本文涉及知识点
P10556 [ICPC 2024 Xi’an I] Make Them Straight
题目描述
有一个长度为 n n n 的非负整数序列 a a a，其中第 i i i 个元素为 a i ( 1 ≤ i ≤ n ) a_i(1\leq i\leq n) ai(1≤i≤n)。
如果存在一个非负整数 k ( 0 ≤ k ≤ 10 6 ) k(0\leq k\leq 10^6) k(0≤k≤106) 满足以下条件，则该序列被定义为「好」序列：
对于所有 1 ≤ i ≤ n 1\leq i\leq n 1≤i≤n，都有 a i = a 1 + ( i − 1 ) k a_{i}=a_{1}+(i-1)k ai=a1+(i−1)k。
为了使这个序列成为「好」序列，对于每个 i ( 1 ≤ i ≤ n ) i(1\leq i\leq n) i(1≤i≤n)，你可以选择不做任何操作，或者支付 b i b_i bi 个硬币将 a i a_i ai 替换为任意非负整数。
问题是，使这个序列成为「好」序列的最小代价是多少。
输入格式
第一行包含一个整数 n ( 1 ≤ n ≤ 2 × 10 5 ) n(1\leq n\leq 2\times 10^5) n(1≤n≤2×105)，如题述。
第二行包含 n n n 个整数 a 1 , . . . , a n ( 0 ≤ a i ≤ 10 6 ) a_1,...,a_n(0\leq a_i\leq 10^6) a1,...,an(0≤ai≤106)。
第三行包含 n n n 个整数 b 1 , . . . , b n ( 0 ≤ b i ≤ 10 6 ) b_1,...,b_n(0\leq b_i\leq 10^6) b1,...,bn(0≤bi≤106)。
输出格式
一个整数，表示答案。
输入输出样例 #1
输入 #1
5
1 4 3 2 5
1 1 1 1 1
输出 #1
2
输入输出样例 #2
输入 #2
5
1 4 3 2 5
1 9 1 1 1
输出 #2
3
说明/提示
（由 ChatGPT 4o 翻译）
调和级数
性质一：最优解一定不是修改所有数据，因为不优于将a[1…n-1]改成a[0]。
结论一：修改结束后 a 0 ≤ 10 6 a_0 \leq 10^6 a0≤106,否则所有的数都需要修改。
枚举 a 0 和 K a_0和K a0和K 时间复杂度：O(KKN)大幅超时
优化一：
枚举K和没修改的a[i]。假定a[i1]和a[i2]没修改，他们有相同a[0]，则可以同时不修改。
c[期望a[0]] +=b[i]
∑ ( b ) − max ( c ) \sum(b)-\max(c) ∑(b)−max(c)便是答案。
令a[i]没有修改，则期望 a [ 0 ] = a [ i ] − i ∗ K , a [ 0 ] 必须 ≥ 0 ，故每个 K ，需要枚举的平均数量符合调和级数 a[0]=a[i]-i*K,a[0]必须 \ge 0，故每个K，需要枚举的平均数量符合调和级数 a[0]=a[i]−i∗K,a[0]必须≥0，故每个K，需要枚举的平均数量符合调和级数。故时间复杂度**：O(KlogK)
代码
核心代码
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>
#include <bitset>
using namespace std;
template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
return in;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
cin >> n;
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
vector<T> ret;
T tmp;
while (cin >> tmp) {
ret.emplace_back(tmp);
if ('\n' == cin.get()) { break; }
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = -x;
if (!x)
*m_p++ = 48;
while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;
while (sp)
*m_p++ = num[sp--] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p - puffer > N - 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};
template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1, class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
vector<T> ret;
*this >> ret;
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
if (canRead >= 100) { return; }
if (m_bFinish) { return; }
for (int i = 0; i < canRead; i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};
class Solution {
public:
long long Ans(const vector<int>& as, const vector<int>& bs) {
long long llMax = 0;
const int M = 1000'000;
vector<long long> v(M + 1);
for (int k = 0; k <= M; k++) {
for (int i = 0; (i < as.size()) && (k * i <= M); i++) {
long long a0 = as[i] - k * i;
if (a0 < 0) { continue; }
v[a0] += bs[i];
llMax = max(llMax, v[a0]);
}
for (int i = 0; (i < as.size()) && (k * i <= M); i++) {
long long a0 = as[i] - k * i;
if (a0 < 0) { continue; }
v[a0] = 0;
}
}
long long sum = accumulate(bs.begin(), bs.end(), 0LL);
return sum - llMax;
}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
int n;
cin >> n ;
auto as = Read<int>(n);
auto bs = Read<int>(n);
#ifdef _DEBUG
//printf("N=%d", N);
Out(as, ",as=");
Out(bs, ",bs=");
//Out(str2, ",str2=");
//Out(que, ",ope=");
#endif // DEBUG
auto res = Solution().Ans(as,bs);
cout << res;
}
单元测试
vector<int> as,bs;
TEST_METHOD(TestMethod11)
{
as = { 1,4,3,2,5 }, bs = { 1,1,1,1,1 };
auto res = Solution().Ans(as,bs);
AssertEx(2LL, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod12)
{
as = { 1,4,3,2,5 }, bs = { 1,9,1,1,1 };
auto res = Solution().Ans(as, bs);
AssertEx(3LL, res);
}
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视频课程
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
有“AI”的1024 = 2048，欢迎大家加入2048 AI社区
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