woodbury公式的证明
本文参考自：woodbury matrix identity
http://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_matrix_identity
The Woodbury matrix identity is:这里假设A是n×n可逆矩阵,U,C,V分别为n×k,k×k,k×n矩阵。
( A + U C V ) − 1 = A − 1 − A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 {(A + UCV)^{ - 1}} = {A^{ - 1}} - {A^{ - 1}}U{({C^{ - 1}} + V{A^{ - 1}}U)^{ - 1}}V{A^{ - 1}} (A+UCV)−1=A−1−A−1U(C−1+VA−1U)−1VA−1
假设 A + U C V A + UCV A+UCV可逆，C可逆， C − 1 + V A − 1 U {C^{ - 1}} + V{A^{ - 1}}U C−1+VA−1U也是可逆的。
证明：
令 M = A + U C V M=A + UCV M=A+UCV
因为：A可逆，我们有：
M A − 1 = I + U C V A − 1 M{A^{ - 1}} = I + UCV{A^{ - 1}} MA−1=I+UCVA−1
两边右乘U,有：
M A − 1 U = U + U C V A − 1 U M{A^{ - 1}}U = U + UCV{A^{ - 1}}U MA−1U=U+UCVA−1U
提出UC项，有：
M A − 1 U = U C ( C − 1 + V A − 1 U ) M{A^{ - 1}}U = UC({C^{ - 1}} + V{A^{ - 1}}U) MA−1U=UC(C−1+VA−1U)
因为有 C − 1 + V A − 1 U {C^{ - 1}} + V{A^{ - 1}}U C−1+VA−1U可逆
M A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 = U C M{A^{ - 1}}U{({C^{ - 1}} + V{A^{ - 1}}U)^{ - 1}} = UC MA−1U(C−1+VA−1U)−1=UC
我们该如何去处理这个UC项呢？因为U和C维度的关系,UC可能不是一个方阵，想到M是可逆的，这里我们把他配成M的形式，（乘以V,再加上A）有：
M A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V + A = U C V + A = M M{A^{ - 1}}U{({C^{ - 1}} + V{A^{ - 1}}U)^{ - 1}}V + A = UCV + A = M MA−1U(C−1+VA−1U)−1V+A=UCV+A=M
所以有： M = M A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V + A M = M{A^{ - 1}}U{({C^{ - 1}} + V{A^{ - 1}}U)^{ - 1}}V + A M=MA−1U(C−1+VA−1U)−1V+A
两边同时乘以M逆再一刀左边，有：
I − A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V = M − 1 A I - {A^{ - 1}}U{({C^{ - 1}} + V{A^{ - 1}}U)^{ - 1}}V = {M^{ - 1}}A I−A−1U(C−1+VA−1U)−1V=M−1A
所以，
M − 1 = ( A + U C V ) − 1 = A − 1 − A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V {M^{ - 1}} = {(A + UCV)^{ - 1}} = {A^{ - 1}} - {A^{ - 1}}U{({C^{ - 1}} + V{A^{ - 1}}U)^{ - 1}}V M−1=(A+UCV)−1=A−1−A−1U(C−1+VA−1U)−1V
可以看到，当U和V都是单位阵的时候，就会退化成下面的公式：
PS:这里的两个公式我没有找到推到过程，只能验证A*A^(-1)=I。在这里求教大家了
( A + C ) − 1 = C − 1 ( A − 1 + C − 1 ) − 1 A − 1 {(A + C)^{ - 1}} = {C^{ - 1}}{({A^{ - 1}} + {C^{ - 1}})^{ - 1}}{A^{ - 1}} (A+C)−1=C−1(A−1+C−1)−1A−1
同时也等于：
( A + C ) − 1 = A − 1 − A − 1 ( C − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 {(A + C)^{ - 1}} = {A^{ - 1}} - {A^{ - 1}}{({C^{ - 1}} + {A^{ - 1}})^{ - 1}}{A^{ - 1}} (A+C)−1=A−1−A−1(C−1+A−1)−1A−1
因为： ( A + C ) − 1 = A − 1 − A − 1 ( C − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 = A − 1 − ( − C − 1 + C − 1 + A − 1 ) ( C − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 = A − 1 + C − 1 ( C − 1 + A − 1 ) − 1 − ( C − 1 + A − 1 ) ( C − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 = A − 1 + C − 1 ( C − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 − A − 1 = C − 1 ( C − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 \begin{array}{l} {(A + C)^{ - 1}} = {A^{ - 1}} - {A^{ - 1}}{({C^{ - 1}} + {A^{ - 1}})^{ - 1}}{A^{ - 1}}\\ = {A^{ - 1}} - ( - {C^{ - 1}} + {C^{ - 1}} + {A^{ - 1}}){({C^{ - 1}} + {A^{ - 1}})^{ - 1}}{A^{ - 1}}\\ = {A^{ - 1}} + {C^{ - 1}}{({C^{ - 1}} + {A^{ - 1}})^{ - 1}} - ({C^{ - 1}} + {A^{ - 1}}){({C^{ - 1}} + {A^{ - 1}})^{ - 1}}{A^{ - 1}}\\ = {A^{ - 1}} + {C^{ - 1}}{({C^{ - 1}} + {A^{ - 1}})^{ - 1}}{A^{ - 1}} - {A^{ - 1}}\\ = {C^{ - 1}}{({C^{ - 1}} + {A^{ - 1}})^{ - 1}}{A^{ - 1}} \end{array} (A+C)−1=A−1−A−1(C−1+A−1)−1A−1=A−1−(−C−1+C−1+A−1)(C−1+A−1)−1A−1=A−1+C−1(C−1+A−1)−1−(C−1+A−1)(C−1+A−1)−1A−1=A−1+C−1(C−1+A−1)−1A−1−A−1=C−1(C−1+A−1)−1A−1
同样，当C是个单位阵的时候，会有下列公式：
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