1.描述流体运动的方法

拉格朗日方法P49
这种方法也称为质点系法。通过标示确认所有流体质点，然后记录每个质点在不同时刻的位置坐标，从而达到对整体流动行为的了解。就是观察这跟随流体质点，记录该质点的运动历程。

设在初始时刻$t_0$时，把流体质点的位置坐标$(a,b,c)$作为该质点的标识符，在任意时刻质点的空间位置坐标可以表示为：
$x=x(a,b,c,t)$
$y=y(a,b,c,t)$
$z=z(a,b,c,t)$
a,b,c是流体质点的标识符，用于区分和识别各个质点，也是流体质点的跟随性条件，t表示时间。若$t$给定，则表示在给定时刻，不同质点的空间位置；若(a,b,c)给定，则表示在不同时刻给定质点的位置。
质点的速度可以确定如下：
$u=\frac{dx}{dt}$
$v=\frac{dy}{dt}$
$w=\frac{dz}{dt}$(这里用$d$表示偏微分)
加速度如下：
$a_x=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$
$a_y=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$
$a_z=\frac{d^{2}z}{d{t}^2}$(同样用$d$表示偏微分)

与拉格朗日法对应的为迹线，方程为：
$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}=dt$

欧拉方法P51

不标识质点，而标识流动空间的空间点。观察者相对空间点不动，记录不同时刻、不同质点通过固定空间点的速度。任意空间点的位置坐标为$(x,y,z)$在$t$时刻由该处观察到的速度为：
$u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z)$
这里就搞出了速度场的概念，就是$t$给定，x,y,z变化，标识占据不同空间点的速度，就是速度场。

• 跟随性条件：
  $\frac{dx}{dt}=u,\frac{dy}{dt}=v,\frac{dz}{dt}=w$
  推导加速度，搞出了随体倒数的概念：
  $a=\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial t}+u\frac{\partial V}{\partial x}+v\frac{\partial V}{\partial y}+w\frac{\partial V}{\partial z}$
  在各个方向的分量就不写了，太慢了。
• 等式右边第一项是由流场的非定常性引起的，称为局部加速度或当地加速度；右边第二项表示因流体质点位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度或对流加速度。
  把速度换成压强、温度等相同，都是随体导数。

2.流场的基本概念

流场是指流体流动所占据的空间，表征流场特性的物理量是占据不同空间位置的流体质点所具有的物理量。如速度场、压力场、温度场、密度场等。

定常流场与非定常流场

如果个空间点的运动要素都不随时间变化，称为定常流场，相应的流动称为定常流动。各物理量仅是位置的函数，与时间无关。即$\frac{\partial }{\partial t}=0$.
对于非定常流场，对时间的偏导数不为零。

流线和迹线

拉格朗日法跟随质点观察，就引出了质点的轨迹线，轨迹线方程为：
$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}=dt$
描述了同一个流体质点在连续时间过程内所占据的空间位置的连线，自变量是时间t，标识符a,b,c为参数，代表了不同的轨迹线。

欧拉方法观察的是某一区域通过所有空间位置的流体质点速度变化情况，就引入了场论的知识。
流线是在给定时刻，在流场中画出一条虚拟的空间曲线，在该曲线上个空间点的流体质点的速度方向与曲线切线方向平行。流线方程为：
$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}$
$x,y,z$为自变量，$t$为参数。
流线反应流场瞬时流速方向的曲线。

流线的性质

• 在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合，但在非定常流动中一般不重合，在流体通道中例外。
• 在常点处，流线不相交、分叉、汇交、转折，在任意时刻，任一点处只能通过一条流线。
• 在奇点和零点处例外。
  流量
  单位时间内穿过指定截面的流体量（体积、质量、重量）。

一维、二维和三维流
就是看流场物理量是几个坐标的函数。

3.流体微团的运动分解

优于流体微团内部质点存在相对运动，因此流体微团的运动可分解为平动、转动、线变形运动、角变形运动。
图像看课本P60
推导过程如下：

流体微团速度分解定理
最终结果如下：

4.速度场的散度和旋度

速度场的散度及其物理意义

对任意速度场，速度的散度定义为：
$divV=\nabla V=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}$
右边三项就是流体微团在三个方向的变形率，因此流体微团的散度就表征三个方向的线变形率之和。也表征流体微团的相对体积膨胀率（单位时间单位体积的膨胀量）。
对于不可压缩流体，密度不变，那么体积也保持不变，因此，不可压缩流体的连续性方程即为散度等于零。

速度场的旋度及速度势函数

在无旋场中，沿任意两点的速度线积分与路径无关。

5.连续性微分方程

基于拉格朗日观点的连续性微分方程

基于欧拉观点的连续性微分方程

6.理想流体运动微分方程组（欧拉方程组）

如图：hhhh

7.伯努利方程及其物理意义

$\Pi +P+\frac{V^2}{2}=C(s)$
对于理想正压流体的定常流动，在质量力有势的条件下，单位质量流体微团沿着特定积分曲线的势能、压能和动能之和不变。即总机械能守恒。
伯努利积分方程成立的充分必要条件是：
$V\times w.ds=0$
伯努利积分方程成立的情况：

• 沿着任意一条流线积分
• 沿着任意一条涡线积分
• $V\times w=0$条件下与所取曲线无关。（静止流场、无旋流场、流线与涡线重合。

如果质量力只有重力沿着流线的伯努利方程是：
$z+\frac{p}{\gamma }+\frac{V^2}{2g}=H(s)$
z表示单位时间单位质量流体微团所具有的位置势能；
第二项表示单位时间单位质量流体微团所具有的压强势能
第三项表示单位时间单位质量流体微团所具有的动能。
伯努利方程的应用一定要看书P78