本节介绍欧几里得结构的两个基本不等式

1 柯西-施瓦茨(Cauchy–Schwarz)不等式

对任意向量x,y有：

证明：

观察实变量t的函数：

根据范数的定义，以及标量积的性质可知:

在上式中假定y不等于0且令：

又由于q(t)>=0，于是：

y=0的情形是显然的

2 三角不等式

对任意向量x,y有：

该定理的证明参照上一节