静电场边值问题——唯一性定理

电磁场

凉月松心 · 2022-12-14 13:28:05 发布

唯一性定理的证明

已知方程组

$\left\{ \begin{aligned} \nabla^2 \varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon}\\ \varphi|_{s}=f_1 (s) \end{aligned} \right.$

这个方程组的解唯一

证明：

假设解不唯一，存在两个解满足

$\left\{ \begin{aligned} \nabla^2 \varphi_1=-\frac{\rho}{\varepsilon}\\ \varphi_1|_{s}=f_1 (s) \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} \nabla^2 \varphi_2=-\frac{\rho}{\varepsilon}\\ \varphi_2|_{s}=f_1 (s) \end{aligned} \right.$

两个作差，我们可以得到

取 $u=\varphi_1-\varphi_2$

此时我们有

$\left\{ \begin{aligned} \nabla^2 u=0\\ u|_{s}=0 \end{aligned} \right.$

由拉普拉斯方程，我们可以得到 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$

假设在体积内部存在极大值或者极小值，我们可以得到，这个方程不可能等于0

如果极大值极小值都在边界处出现，那么最大值最小值为0，此时恒等于0

我们得出

$\varphi_1=\varphi_2$

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