差分进化算法（Differential Evolution）由 Storn和 Price 于1997年提出，算法包含三个参数：种群大小NP,变异放缩因子F,交叉概率CR。用向量$x_i=\left[x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{i,dim}\right]$表示目标函数的一组候选解，通过不断的变异、交叉和选择在有限的迭代次数内得到满意解。算法流程图如下：

1. 初始化

随机生成初始种群
$$x_{ij}=x_{j,min}+rand\ast (x_{j,max}-x_{j,min})$$
其中$x_{j,max}$和$x_{j,min}$分别表示在第$j$维的上下限。

2. 变异操作

1. DE/rand/1策略
   $$v_{i,G}=x_{r1,G}+F\cdot (x_{r_2,G}-x_{r_3,G})$$

2. DE/rand/2策略
   $$v_{i,G}=x_{r1,G}+F\cdot (x_{r_2,G}-x_{r_3,G})+F\cdot (x_{r_4,G}-x_{r_5,G})$$

3. DE/current to rand/1策略
   $$v_{i,G}=x_{i,G}+F\cdot (x_{r_2,G}-x_{i,G})+F\cdot (x_{r_2,G}-x_{r_3,G})$$

4. DE/best/1策略
   $$v_{i,G}=x_{best,G}+F\cdot (x_{r_1,G}-x_{r_2,G})$$

5. DE/best/2策略
   $$v_{i,G}=x_{best,G}+F\cdot (x_{r_1,G}-x_{r_2,G})+F\cdot (x_{r_3,G}-x_{r_4,G})$$

6. DE/rand to best/1策略
   $$v_{i,G}=x_{r_1,G}+F\cdot (x_{best,G}-x_{r_1,G})+F\cdot (x_{r_2,G}-x_{r_3,G})$$

7. DE/current to best/1策略
   $$v_{i,G}=x_{i,G}+F\cdot (x_{best,G}-x_{i,G})+F\cdot (x_{r_1,G}-x_{r_2,G})$$

其中{i,r1,r2,r3,r4,r5}⊂{1,2,...,NP}\{i,r_1,r_2,r_3,r_4,r_5\} \subset \{1,2,...,NP\}{i,r1​,r2​,r3​,r4​,r5​}⊂{1,2,...,NP}，$x_{best,G}$表示在第G代种群中的最优个体，$x_{i,G}$表示在第G代种群中的第$i$个

个体,$F\in \left(0,2\right)$表示放缩因子。

3. 交叉操作

$$u_{ij}=\{\begin{array}{rl}{v}_{ij}& if(rand<CR)orj=rnbr(i)\\ x_{ij}& otherwise\end{array}$$

其中$CR\in [0,1]$表示变异概率，$rnbr(i)$ 表示从维度集合中随机选取的常数，以确保$u_{ij}$中至少有一个元素来源于$v_{ij}$

4. 选择操作

$$x_{i,G+1}=\{\begin{array}{rl}{u}_{i,G}& if(f(u_{i,G})\le f(x_{i,G}))\\ x_{i,G}& otherwise\end{array}$$

5. 测试函数

$$f(x)=\sum _{i=1}^{dim}i\cdot x_i^2$$

6. 代码实现

function [fitbest,xbest,fit_curve] = DE(NP,F,CR,Gm)
%input
%NP: 种群规模，F:放缩因子，CR:交叉概率,Gm:最大迭代数
%output
%bestfit: 寻优最佳适应度，fit_curve:收敛曲线
LB = -100;
UB = 100;
dim = 30;  
X = zeros(NP,dim);
U = zeros(NP,dim);
V = zeros(NP,dim);
fitX = zeros(NP,1);
fitV = zeros(NP,1);
fit_curve = zeros(1,Gm);
%% 种群初始化
for m = 1 : NP
	X(m,:) = LB + rand(1,dim) * (UB - LB);
	fitX(m) = test(X(m,:));
end
%% 主循环
G = 1;
while G <= Gm
	%% 变异
	for i = 1 : NP
		r = randperm(NP,3);
		while ismember(i,r)
			r(r == i) = randi(NP);
		end
		U(i,:) = X(r(1),:) + F * ( X(r(2),:) - X(r(3),:) );
	end
	U(U < LB) = LB;%边界吸收处理
	U(U > UB) = UB;
	%% 交叉
	for j = 1 : NP
		randIndex = randi(dim);
		for k = 1 : dim
			if rand <= CR || randIndex == k
				V(j,k) = X(j,k);
			else
				V(j,k) = U(j,k);
			end
		end
		fitV(j) = test(V(j,:));
	end
	%% 选择
	betterIndex = fitV < fitX;
	X(betterIndex,:) = V(betterIndex,:);
	fitX(betterIndex) = fitV(betterIndex);
	%% 记录每一代的最优解
	[fitbest,Index] = min(fitX);
	xbest = X(Index,:);
	fit_curve(G) = fitbest;
	G = G + 1;
end
%% 绘图
figure;
plot(fit_curve);
title('适应度收敛曲线');
xlabel('迭代次数');
ylabel('适应度');
%% 测试函数
function fvalue = test(x)
y = 1:length(x);
fvalue=sum(y.*(x.^2)) ;
end
end