检验时间序列异常变化的简单方法：

利用数据统计来识别数据中可能存在的问题

控制图分析

介绍用于检查时间序列、查找模式和异常变化的数据挖掘技术，
时间序列的分析，通常包括：Trend、Seasonality、Forecasting
以上的预测我们通常采用控制图的分析，重要的是计算平均值和标准差。

时间序列分析在于检验不同时间的样本分布，这里不同时间是以时滞k来说明，

一：相同时间的样本分布

简单的时间序列比如当k=0时，$cov(Y_{t_1},Y_{t_1})$是为等于方差，所以相同分布，协方差就等于方差，相关系数为1，

平稳性检验：

称为ADF检验

平稳性定义：

业务理解：

时间序列预测，主要是预测一段时间的业务变化，$k$时间段后，业务会出现规律变化。
因此在业务上，时间序列的平稳性是数据随时间呈现规律性变化。严平稳序列是完全平稳的，因为其概率密度函数相同，因此其所有的统计特征都是相同的。

数学定义：

统计特性(平均值($E(x)$，方差($var(x)$)))不随时间的变化而变化

1,严平稳

对于一切时间间隔$k$和时间点$t_1,t_2,t_3....t_n$，都有$Y_{t_1},Y_{t_2},Y_{t_3},....,Y_{t_n}$与$Y_{t_1-k},Y_{t_2-k},Y_{t_3-k},....,Y_{t_n-k}$的联合分布相同，则称过程$Y_t$为严平稳

2,弱平稳

弱平稳只要求变化过程$Y_t$的均值$E(Y_t)$、方差$Var(Y_t)$为不随时间变化的常数，相隔时间$k$的序列协方差只与时间间隔$k有关$，而与时间t无关,满足以上三个条件被称为弱平稳。
弱平稳序列的自相关系数：
${\rho }_k=\frac{Cov(x_t,x_{t-k})}{\sqrt{Var(x_t)Var(x_{t-k})}}$
由于弱平稳序列的的方差是相同的，所以上式又可以进行变换，${\rho }_k=\frac{Cov(x_t,x_{t-k})}{Var(x_t)}=\frac{{\gamma }_k}{{\gamma }_0}$
相同时刻的自协方差${\gamma }_0=Var(x)$
$k$可以称为步，差步相关

现实业务中，多数业务会随着时间的变化，呈现规律性的波动上升，因此一阶和二阶的的弱平稳我们也可以定义为弱平稳序列。

阶矩概念：

n阶矩再定义中为样本的n次方与对应概率密度的乘积的积分，矩是对变量分布和样本特点的一组度量。

实际计算中阶矩：

在实际计算中，阶矩代表相同变化趋势的阶段之间的阶段数，在不同阶段内，$Y_t$与$Y_{t-k}$表现出一定的相关性。

白噪声:

如果所有的序列观察值$Y_t$都是独立同分布的，而且均值$\mu$和方差${\sigma }^2$都是有穷的常数，则称该序列为白噪声或者纯随机序列
白噪声的三个前提条件：
1；有限均值；
2；有限方差；
3；独立同分布
用简单的表达方式：平稳序列是均值$\mu$和方差${\sigma }^2$为相同值的特殊白噪声。

阶、步差分：

阶差分可以剔除趋势性的影响
步差分可以剔除季节性的影响.
实际造成了AR(A),ARIMA(p.d.q)模型的区别
当p,d,q为0的时候，直接去用AR(A)。
实际在运行的过程中，时间序列模型所对应的特征是固定的，所以才会做各种假设。p,d,q所对应的是周期、步长和变化趋势

相关性

针对AR模型

ACF:相关性
是$X_t$与$X_{t-1}$的相关关系，表达式为$r_0=\frac{COV(X_t,X_{t-1})}{\sqrt{D(X_t)}\sqrt{D(X_t-1)}}$
ACF刻画的是当前值与前$K$个时刻的之前所有数据的相关关系
PACF：偏自相关性
PACF刻画的是当前$X_t$与$K$个时刻之前的$X_{t-k}$的关系

图形描述

statsmodels.graphics.tsaplots.plot_acf是画出了在不同延迟时间下，样本与延迟样本的相关性，灰度图像是对应相关性，在95%的置信区间下不可信的区域。

statsmodels.graphics.tsaplots.plot_pacf是画出了在消除时序的影响后,$corr((x_0-x_k),(x_t-x_k))$，这样就消除了在时间变化过程中出现的一些残差值。

模型评价标准：

对于以往的评价标准是$RSS:$即残差平方和;$ESS:$即离差平方和，一般$R^2=\frac{ESS}{TSS}$,成为样本的可决系数/判定系数
赤信息量 AIC:$AIC(K)=s_y^2(1-R^2)e^{2k/n}$
贝叶斯信息量 BIC:$BIC(K)=s_y^2(1-R^2)e^{k/n}$
k为模型参考个数，n为采样样本数