python version 3.8.6
numpy version 1.19.2
sklearn version 0.23.2

Q：我知道r2_score表示的是在总变量中模型解释的百分比。但是explained_variance_score和它有什么区别？

A：从公式的差别角度看：

当残差的均值为0时，它俩是一样的。至于用哪个，就看你有没有假设残差均值为0。
——Answered by CT Zhu:

一、先举个残差均值不为0的栗子：

import numpy as np
from sklearn import metrics

y_true = [3, -0.5, 2, 7]
y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
print(metrics.explained_variance_score(y_true, y_pred))
print(metrics.r2_score(y_true, y_pred))

# 结果如下
0.9571734475374732
0.9486081370449679

# 注意：此处残差的均值不为0
print((np.array(y_true) - np.array(y_pred)).mean())
# 结果如下
-0.25

• explained_variance_score 和r^2其实是：

$explained\_variance\_score=1-\frac{Varianc{e}_{(Y_{ture}-Y_{pred})}}{Varianc{e}_{Y_{true}}}$

$r2=1-\frac{\frac{\sum SquaredResiduals}{N}}{Varianc{e}_{Y_{true}}}=1-\frac{\sum SquaredResiduals}{N\ast Varianc{e}_{Y_{true}}}$

重点是： $Varianc{e}_{(Y_{ture}-Y_{pred})}=\frac{\sum SquaredResiduals-MeanError}{N}$。注：此处MeanError实质上取绝对值abs(MeanError)。

# 上边的例子用numpy这样实现：
explained_variance_score = 1- np.var( np.array(y_true)-np.array(y_pred) ) / np.var(y_true)
r2 = 1 - ((np.array(y_true) - np.array(y_pred))**2).sum() / (4 * np.array(y_true).var())    

print(explained_variance_score)
print(r2)

# 结果如下
0.9571734475374732
0.9486081370449679

1） r2分母4 * np.array(y_true).var() 的另一种解释：
依据R² = 1 - Sum_of_Squares_for_Error/ Sum_of_Squares_for_Total，所以 分母应是总方差SST，即 4 * np.array(y_true).var() = ((y - y.mean())**2).sum()，其中，y 代表 np.array(y_true)。

2） explained_variance_score = 1 - np.cov( np.array(y_pred)-np.array(y_true) )/np.cov(y_true)

二、再举个残差均值为0的栗子：

y_ture = [3, -0.5, 2, 7]
y_pred = [2.5, 0.0, 2, 7]

print((np.array(y_true) - np.array(y_pred)).mean())
# 结果如下
0.0

print(metrics.explained_variance_score(y_true, y_pred))
print(metrics.r2_score(y_true, y_pred))
# 结果入下
0.9828693790149893
0.9828693790149893

备注：对于一维数据， 协方差cov/和方差var的区别仅仅是自由度的区别，或者说是前者是样本方差，后者是总体方差。例如：

a = [1, 2, 3, 45]
print(np.cov(a))
print(np.var(a)*len(a)/(len(a)-1))   # 即 cov=离差的平方/(样本数 -1)，var=离差平方/(样本数)
 # 结果如下：
 462.91666666666663
 462.9166666666667

从含义的差别角度看：Answered by Yahya:

• 先看R² / 可决系数 / 判定系数：

– 从公式上看：Variance_{true_y} x R²_{true_y} = Variance_{pred_y}，很明显R²越接近1，效果越好。

– R²的含义，是从最小二乘（就是2次方差）的角度出发，表示实际y值的方差有多大比重被预测y值解释了。