分球的八个问题

问题：把 m 个球放入 n 个盒子里，有多少种放法？

这题目其实条件没说清，m 球放 n 盒，可以有 8 种情况：

1. 球同，盒同，盒不可以为空
2. 球同，盒同，盒可以为空
3. 球同，盒不同，盒不可以为空
4. 球同，盒不同，盒可以为空
5. 球不同，盒同，盒不可以为空
6. 球不同，盒同，盒可以为空
7. 球不同，盒不同，盒不可以为空
8. 球不同，盒不同，盒可以为空

这 8 个问题，看起来相似，但是解法上是有不同的。我们一个一个看。

问题 8：球不同，盒不同，盒可以为空

最简单的，是问题 8：m 不同球，n 不同盒，允许空盒。

每个球都有 n 种选择，m 个球就有 $n^m$ 种分法。

$S1(m,n)=n^m$

问题 2：球同，盒同，盒可以为空

问题 2：m 同球，n 同盒，允许空盒。

分情况讨论：

A，球数 (m) 少于盒子数 (n)：则分配方案和 m 个球放入 m 个盒子相同。

B，球数 (m) 不少于盒子数 (n)：

可以分解为两种情况：

1，至少有一个空盒子。这种情况，与去掉一个空盒子方案数相同。即：$m$ 个同球放入 $n-1$ 个同盒子，允许空盒的方案。

2，没有空盒子，所有的盒子都至少放一个球，转化为 $m-n$ 个球放入 $n$ 个盒子的方案。

任何一种 $m$ 个同球放入 $n$ 个同盒的方案必然属于上述两种方案之一，既不会同时属于上述两种方案，也不会出现在这两种方案之外。

$S2(m,n)=S2(m,n-1)+S2(m-n,n)$，如果 $m-n<n$，则后一项为 $S2(m-n,m-n)$。

罗奕铭的解释：

既然盒相同，我们不妨认为一个分球方案是按照球数的从小到大排列的。

等效成把一个数 m 拆成 n 个数的和，并且这 n 个数单调不降。

设 $f(m,n)$ 为 m 拆成 n 份的方案数。

如果这么拆：$x_1+x_2+x_3+...+x_n=m(x_i\ge 0)$。

当 $x_1=0$ 时， $x_2...x_n$ 的拆法可以表示成 $f(m,n-1)$。

当 $x_1\ge 1$ 时，上式可以变成 $(x_1-1)+(x_2-1)+...+(x_m-1)=m-n$。

后面的拆法表示成 $f(m-n,n)$。

所以 $f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)$。

问题 1：球同，盒同，盒不可以空

问题 1：m 同球，n 同盒，无空盒。

既然 m 个球是相同的，而且没有空盒，那从所有方案的每个盒子拿走一个球，方案数不变。

每个盒子拿走一个球，问题 1 转化为 问题 2。

$S1(m,n)=S2(m-n,n)$

问题 3：球同，盒不同，盒不可以空

问题 3：m 同球，n 不同盒，无空盒。

这个问题用组合数学插板法解决。

把 $m$ 个球排成一排（只有一种方法），它们中间有 $m-1$ 个空挡。从 $m-1$ 个空挡中选择 $n-1$ 个，放入插板。每个空挡最多放一个插板，就把 m 个球分成 n 部分。由于插板不相邻，所以没有空盒。

问题 3 的方法数有 $S3(m,n)=C_{m-1}^{n-1}$ 个。

组合数公式：$C_n^r=\frac{P_n^r}{r!}=\frac{n!}{r!\cdot (n-r)!}$ ，$P_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

问题 4：球同，盒不同，盒可以为空

问题 4：m 同球，n 不同盒，允许空盒。

问题 4 可以通过问题 3 求解。

为了避免空盒，先在每一个盒里假装放一个球，这样就有 $n+m$ 个球。按照问题 3 的方法分完了之后，再从每个盒子里面取走一个球，方案数不变。

问题 4 的方法数是：$S4(m,n)=S3(m+n,n)=C_{n+m-1}^{n-1}$。

问题 5、6、7，先熟悉一下这个三角形：

性质1，左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第 5 行就是 1 X X X 1。

性质2， $S(N,K)=S(N-1,K-1)+K\times S(N-1,K)$，含义是第 $N$ 排的第 $K$ 个数等于 { 它上一排的左上角位置的数字 } 加 { 它上一排的同样位置数字的 $K$ 倍}。

例如 $S(7,3)$ 就是第 7 排第 3 个数字，所以他等于第 6 排第 2 个数字 加 第 6 排第 3 个数字乘以 3。

所以第 1 排是1，第2排 1，1，第 3 排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定）。 所以 $S(3, 2) = $第 2 排第 1 个数字 加 第 2 排第 2 个数字的两倍 $=1+1\times 2=3$，所以第 3 排数字就是 1，3，1。同理 $S(4, 2) = S(3, 1) + 2 \times S(3, 2) = 1+2 \times 3 = 7, … $如此类推。

问题 5，球不同，盒同，盒不可以为空

问题 5：m 不同球，n 同盒，无空盒。

假设 $S5(m,n)$ 为 m 个不同的球，放入 n 个相同的盒子，盒子不可以为空的放法总数。

考虑递推关系。假设 m 个球是依次放入盒子中的，即球是按照 $1,2,3,...,m$ 的顺序放入的。显然，对于一种放法方案，我们固定一个放入顺序并不会增加或者减少方案的数目。
则 $m$ 号球放入之前，有 $m-1$ 个球放入 n 个盒子，方案数为 $S5(m-1,n)$。第 $m$ 号球有 $n$ 种放法(放入 n 个盒子中的任意一个)，因此有 $n\times S5(m-1,n)$ 种放法。

上述这种考虑，还缺一个方案，就是 $m$ 号球放入的那个盒子，只有 $m$ 号球。这时候，在 m 号球放入之前，是有空盒子的，这种情况不在 $S5(m-1,n)$ 表达的范围内。因为盒子是相同的，因此在 $m$ 号球放入之前，只有 $n-1$ 个非空的盒子，方案数为 $S5(m-1,n-1)$。

综上，递推公式为：$S5(m,n)=S5(m-1,n-1)+n\times S5(m-1,n)$。

问题6，球不同，盒同，盒子可以为空

问题6：m 不同球，n 同盒，允许空盒（在问题 5 的基础上允许空盒）。

那就枚举空盒子的数量：一个空盒子都没有 + 有一个空盒子 + 有两个空盒子 + 有三个空盒子+ ，，，+都装在一个盒子里。

改写成公式就是：$S6(m,n)=S5(m,1)+S5(m,2)+S5(m,3)+\dots +S5(m,n)$

也就是上面那个三角形，第 m 排开始第 1 个数字一直加到第 n 个数字。

问题 7，球不同，盒不同，盒不可以为空

问题 7：m 不同球，n 不同盒，无空盒。

问题 7 和问题 5 的区别是，盒子不同。那就先按照问题 5 分，然后把盒子全排列编号就行了。

所以问题 7 的解是：$S7(m,n)=n!\times S5(m,n)$。

组合数的计算方法

在讨论这些问题的，时候，需要计算组合数 $C_m^n=\frac{m!}{n!\cdot (m-n)!}$ 。

常见的计算方法就是计算阶乘，然后除，这时候很容易溢出。

一个简单的变换是：$C_m^n=\frac{m!}{n!\cdot (m-n)!}=\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot ...\cdot m}{(m-n)!}$ ，这样溢出的可能性小一些。

课上温瀚博介绍一种办法，通过递推的方法算组合数。

组合数公式的递推公式：$C_m^n=C_{m-1}^{n-1}+C_{m-1}^n$。

等式左边表示从 m 个元素中选取 n 个元素，而等式右边表示这一个过程的另一种实现方法：
任意选择m中的某个备选元素为特殊元素，从 m 中选 n 个元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况：

即 n 个被选择元素包含了特殊元素和 n 个被选择元素不包含该特殊元素。

前者相当于从 m-1 个元素中选出 n-1 个元素的组合，即 $C_{m-1}^{n-1}$；后者相当于从 m-1 个元素中选出 n 个元素的组合，即 $C_{m-1}^n$。

问题 5 的搜索方案

问题 5：m 不同球，n 同盒，无空盒。

这个思路是魏诗然提出来的。

既然 n 个盒相同，我们不妨规定放球的时候，只能按照盒子的顺序单调不升的放。

那么，DFS 凑出每个盒子里面放球的个数，并保证 $buf[1]\ge buf[2]\ge buf[3]\ge ...\ge buf[n]\ge 1$

例如，5 个球 3 个盒子，可以拆分为：3 1 1，2 2 1。注意，两个放一个球的盒子可以互换。

我们对拆分后的方案计算组合数

盒子 1 的方案数 $ans[1]=C(m,buf[1])$
盒子 2 的方案数 $ans[2]=C(m-buf[1],buf[2])$
… …
盒子 n 的方案数 $ans[n]=C(m-buf[1]-buf[2]-...-buf[n-1],buf[n])$

根据乘法原理，总方案数应该是上述组合数相乘。

假设有 2 个盒子的球数相同，那组合数应该除以 $2!$，如果有 3 个盒子的球数相同，那组合数应该除以 $3!$。

我们假设每一种球数的盒子数量表示为：$q[i]=j$，即 2 个球的盒子有 j 个。

令 $p=\prod (q[i]!)q[i]\ne 0$

$ans=\frac{ans[1]\times ans[2]\times ...\times ans[n]}{p}$

ans 是一组球的放法数量的组合数。此题的结果需要把不同的放法数量加起来就可以了。

总结

输出方案数问题是信息学竞赛中的一种常考题目。

通过【分球的八个问题】，可以帮我们把组合数学的加法原理、乘法原理和动态规划的方案递推思路认真梳理一遍，对锻炼这种题目的思考方法是很有帮助的。