前面的话

参考资料：
Understanding viscosity: An Introduction to Rheology, Nhan Phan-Thien and Nam Mai-Duy, Third Edition, 2017.

这本书是新加坡国立大学的研究生教材。主要针对的流变学的入门。本书第一版是2002年出版的，第三版（即本次阅读的版本）2017年出版。

在阅读这本书的时候，和第二次调研相比，我们将注重：
（1）更加详细的数学公式
（2）思考如何进行代码实践，以及如何在图形学中应用。
（3）前两次调研遗漏的部分。

本次笔记与上次不同的另外一点是：我们将跳过重复的部分，或进行略读。针对数学模型和前两次没讲到的部分，则会详读。

第一章 张量符号：张量分析的实用知识

由于第一章主要是张量数学，我们直接从第二章起。

第二章 流变性质：物性和流动行为的概述

2.1 粘度

泊肃叶也作为粘度的单位(CGS制)
1Pa s= 10 Poise
水的粘度大概是1厘泊

为了后面讨论的方便，我们将默认两个假设：

1. 如不加说明，讨论的都是剪切变稀行为，因为这是最常见的一种非牛顿行为
2. 如不加说明，讨论的都是在简单剪切流的实验条件下所得到的结果。

所谓剪切变稀就是粘度随着剪切率的增大而减小。如下图为低密度聚乙烯(LDPE)在不同温度下的流变图。从上到下温度从388K到513K。可明显观察到剪切变稀效应。

简单剪切流是一种理想的实验模型。如图所示，固定住下面的平板，缓慢而匀速地拉动上面的平板。拉动的力为F，平板面积为A，拉动速度为U，平板间距为h。如果是牛顿流体，就可以观察到横截面上的速度是在y方向上均匀增加的，如下图所示。

2.2 法向应力差

衡量非牛顿程度的其中一种指标是法向应力差。假如是牛顿流体，所有的法向应力都是相同的，因此法向应力差都是0。对于非牛顿流体，3个法向应力两两相减，得到2个法向应力差。

N1和N2公式如上次调研

下图为聚异丁烯溶于十六烷的溶液的流变图，展示了N1和N2随剪切率的变化。

衡量N1和N2随着剪切率变化的快慢的两个系数，又被称为法向应力系数（上次使用符号$\psi$）

N2通常是N1的10%，且N2通常是负数。N2是很难测量的，所以一般不测。

非零的法向应力差会造成许多有趣的效应。我们即将展示的以下几个实验都是由于非零法向应力差造成的。包括：

1. 魏森伯格爬杆效应
2. 毛细管挤出胀大效应
3. 流过倾斜表面时的凸起效应
4. 反转二次流的

2.2.1 魏森伯格爬杆效应（Weissenberg Rod-Climbing Effect）

这是一个著名的非牛顿流体实验。在烧杯中用玻璃棒搅拌，假如是牛顿流体，显然会在离心力的作用下向下凹。但是假如采用粘弹性流体，流体则顺着搅拌棒向上爬升。如图所示。

其根本原因就是非零的法向应力差支撑了流体的重量。

假如我们不用搅拌棒，只是旋转烧杯，也会发现类似的效应。这时烧杯中的液面会向上凸起。

2.2.2 挤出胀大（Die Swell）

另一个法向应力差所造成的效应叫做挤出胀大（Die Swell）。
将流体从毛细管中挤出，如果是非牛顿流体，则挤出的直径将会膨胀。对于聚合物熔体甚至可以膨胀到管径的几倍。如下图所示。上面的是牛顿流体，下面的非牛顿流体。

我们可以定义一个参数来衡量挤出胀大效应的程度。一个比较容易想到的选择就是挤出后的直径$D_E$(extrudate diamter)。我们用$D_E/D$这个比值来衡量挤出胀大效应。

显然，由于挤出胀大效应是由第一法向应力差所造成的，因此$D_E/D$与N1之间必然存在一个关系。Tanner给出了这个关系式：

其中S是剪切应力。下标w表示wall。

挤出胀大除了主要取决于法向应力差，也就是粘弹性体中的弹性，还与雷诺数有关。下图就展示了Re从小到大增长时不同的挤出胀大效应。

2.2.3 流过倾斜表面时的凸起效应

流体流过一个倾斜的表面时，假如是牛顿流体，液面显然是平的。但假如是非牛顿流体，则会观察到凸起的表面。

这个效应是由于负的第二法向应力差所造成的。

2.2.4 反转二次流

使用搅拌器搅拌烧杯中的液体，假如是牛顿流体，则会出现左图的二次流。假如是非牛顿流体，二次流的方向则与牛顿流体的情况恰好相反。

2.3 瞬态响应

2.3.1 小应变震荡剪切流

假如我们把平板粘度实验的平板依照正弦曲线来回拉动，也就是平板的位移为

于是拉动的速度U为

这个时候，应变和应变率分别为

其中下标0代表振幅（也就是第二行公式）

我们假设剪切应变很小（这也是标题的含义），则我们可以根据应变得到一个应力。但是该应力通常被分解为两部分：

第一部分（也就是S’部分）与应变的相位相同，被称为是存储应力（storage stress)。它对应着存储模量G’，或者是存储粘度${\eta }^{\prime \prime }$。（注意他们两个的上标恰好是相反的，一个是’，一个是’‘）

第二部分与应力的相位相同，被称为是损失应力（loss stress）。对应损失模量G’'，或者动态粘度(dynamic viscosity)（${\eta }^{\prime }$)

这些材料性质都是与频率有关的，因此被称为动态性质。

下图展示了低密度聚乙烯（LDPE）熔体在不同温度下的存储模量和损失模量。该图线是由时间-温度叠加原理所绘制的。通过对频率乘以平移因子${\alpha }_T$来得到横坐标。动态特性包含了在频域中表示的流体的时间尺度信息。

2.3.2 应力超调

在震荡剪切率的起始阶段，我们可以定义平板速度和剪切率分别为

其中H是海维赛德函数，即

应力会随着时间增大，然后接近稳态值。有时会在稳态值附近有些震荡。在法向应力差中也可以观察到该现象。

类似于稳态粘度，我们可以定义一个非稳态粘度：

高剪切率下，应力超调可能很明显。这是一些生物流体，如滑膜液体是良好的润滑剂的主要原因。

2.3.3 应力松弛

应力松弛和应力超调正好相反。稳态剪切的流体突然停下，则会造成松弛。定义应力松弛粘度为

2.3.4 弛豫模量

在很短的时间$\Delta t$内突然施加较大的应变率${\dot{\gamma }}_0$，也会造成弛豫现象。
应变为（类比于冲量）

在此过程中，实验观察应力S的变化。

定义弛豫模量为

在小应变下，G与应变无关。而且此时应力和应变成正比关系。

下图为G随时间的变化。可以发现各个曲线近乎平行。不同曲线代表的是不同的应变（从上到下依次增大）证明G只与时间有关，与应变无关。

2.3.5 回缩效应（Recoil）

剪短流动的液柱，部分液体会回缩。这是由于非牛顿流体的记忆性。它们记住了原本的结构。但该记忆性不是完美的。因此只有部分回缩。

如图所示。剪短的流体缩回到罐子里。

2.4 拉伸流

2.4.1 拉伸粘度

拉伸流的速度梯度为对角阵。定义速度为：

其中由于不可压缩性，有

当c=0, b=-a时，简化为平面拉伸流。
当a=b=-c/2时，简化为单轴拉伸流。

单轴拉伸实验比较常用。我们接下来讨论单轴拉伸。

在单轴拉伸时，定义a为拉伸率。由此定义拉伸粘度为

拉伸黏度很难达到稳态。对于牛顿流体，拉伸黏度是剪切粘度的3倍。对于非牛顿流体，拉伸粘度可以大剪切粘度几个数量级。

拉伸粘度与剪切粘度之比被称为Troton比率

下图为大分子聚异丁烯的Trouton比率随时间的变化。其中拉伸率a=2 $s^{-1}$。
牛顿流体的Tr总是3，而非牛顿流体Tr可以非常大。

拉伸应力的一个典型现象是无虹吸管实验，如图

2.5 粘弹不稳定性

由于本构方程的非线性，粘弹性流动充满了不稳定性。与牛顿流体不同，该不稳定性可能不只是来源于惯性，还可能由边界条件和弹性应力造成。比如库埃特流、平行圆盘之间的扭转流，锥与锥板之间的剪切流，弯管流，收缩刘，挤压磨具流都具有不稳定性。一个典型的例子是挤出变形，也被称为熔体断裂，是由于粘弹性和边界条件之间的相互作用产生的不稳定流动。

3 运动学和平衡方程：对于连续介质力学的快速复习

（无关内容）

（结束无关内容）

第三章 守恒公式

欧拉视角与拉格朗日视角加速度公式有区别的原因在于：
拉格朗日视角中的位置X为初始位置，与时间无关。而欧拉视角中的当前位置x与时间有关，所以要用链式法则求导。

这是欧拉视角的加速度公式（左边是向量形式，右边写成张量形式）

如下为拉格朗日视角的加速度公式

其中我们定义L为速度梯度张量（注意转置）