本章主要考查向量组的线性关系、秩与极大无关组、向量空间等核心内容，是线性代数的重要基础模块。以下从四个核心考点展开系统梳理：

考点一：向量组的线性表示

核心问题：如何用一组向量线性表出另一组向量？如何判断线性表示的存在性？

1 向量 $\beta$ 可由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$ 线性表示
$\iff$ 存在一组$k$ ， 满足 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m=\beta$ （定义）
$\iff$ 方程组 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+...+x_m{\alpha }_m=\beta$ 有解 （非齐次线性方程组）
$\iff$ $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m,\beta )$（秩）

2 向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n$ 可由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$ 线性表示
$\iff$ $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m,{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n)$（秩）
$\iff$ $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m)\ge r({\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n)$

3 向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n$ 与向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$ 等价
$\iff$ $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m)=r({\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m,{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n)$（秩）

4 组外关系：行（列）变行（列）等价；组内关系：行（列）变不改变行（列）向量组的线性表示关系。

5 矩阵关系：若矩阵$AC=B$
$\iff$ $B$的每个行向量均可由$C$的行向量线性表示(将矩阵 $B$ 与 $C$ 分别进行分块)
$\iff$ $B$的每个列向量均可由$A$的列向量线性表示(将矩阵 $B$ 与 $A$ 分别进列分块)

考点二：向量组的线性相关性

核心问题：如何判断向量组是线性相关还是线性无关？

1 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$ 线性无关
$\iff$ $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m=0$ ，当且仅当向量组全部中所有$k=0$ 时成立（定义）
$\iff$ 方程组 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+...+x_m{\alpha }_m=0$ 仅有零解 （非齐次线性方程组）
$\iff$ $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m)=m$；向量组满秩，所决定的向量空间维度等于向量个数（秩）
$\iff$ $|{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m|\ne 0$；向量组为 $m$ 维的空间（行列式）

2 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$ 线性相关
$\iff$ $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m=0$ ，向量组中$k$ 不全为0（定义）
$\iff$ 方程组 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+...+x_m{\alpha }_m=0$ 有非零解 （非齐次线性方程组）
$\iff$ $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m)\ne m$；向量组不满秩，所决定的向量空间维度小于向量个数（秩）
$\iff$ $|{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m|=0$；向量组为小于 $m$ 维的空间（行列式）

考点三：向量组的极大无关组与秩

核心概念：

1. 极大无关组
   若向量组 $S$ 中存在部分组 $T$ 满足：

   • $T$ 线性无关
   • $S$ 中任一向量均可由 $T$ 线性表示

   则称 $T$ 是 $S$ 的一个极大线性无关组。

2. 求极大无关组

   • 化为行阶梯型可以确定极大无关组，化为行最简型可以求剩余向量用极大无关组的线性表示。
   • 三秩相等：行向量组的秩 = 列向量组的秩 = 矩阵的秩

考点四：向量空间与坐标变换

核心内容：

1. 基 :极大无关组
   向量空间的基是该空间中的一个极大无关组，维数即基所含向量个数。

2. 坐标 ：向量的线性表示
   设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ 为空间中的一组基，且向量 $\beta$ 在此基下的坐标为 $(x_1,x_2,...,x_n{)}^T$，则满足：
   $$\beta =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+...+x_n{\alpha }_n$$

3. 过渡矩阵 ：向量组的线性表示（可逆矩阵方程）
   若 $A:({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)$ 和 $B:({\beta }_1,...,{\beta }_n)$ 均为 $n$ 维向量空间的一组基，且满足 $AP=B$，则：
   $P=A^{-1}B$ 为 ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ 到 ${\beta }_1,...,{\beta }_n$ 的过渡矩阵

4. 坐标变换
   若 $\eta$ 在基 $A:({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)$ 和 $B:({\beta }_1,...,{\beta }_n)$ 下的坐标分别为$x,y$，即满足 $Ax=By$，则有：
   $$y=B^{-1}Ax$$

典型例题解析

例1：判断向量组 ${\alpha }_1=(1,2,3),{\alpha }_2=(4,5,6),{\alpha }_3=(7,8,9)$ 的线性相关性。

解：构造矩阵
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right)\stackrel{行变换}{⟶}\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 0& -3& -6\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
由于秩 $r(A)=2<3$，故向量组线性相关。

总结：本章需重点掌握线性表示的条件、秩的计算方法及几何意义，熟练运用矩阵变换解决相关问题。后续章节将深入探讨线性方程组与向量空间的联系，建议配合真题强化训练。