正态分布的基本概念

正态分布，又称高斯分布。其特征为：中间高、两边低，左、右对称。其主要性质如下：

1. 集中性：曲线的最高峰位于正中央，且位置为均数所在的位置。
2. 对称性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心、左右对称，且曲线两端无线趋近于横轴。
3. 均匀变动性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心均匀向左右两侧下降。
4. 面积恒等：曲线与横轴间的面积总等于1。
   正态分布函数的公式如下：
   $$\begin{array}{rl}& f(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi )}\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\end{array}$$
   其中，μ为均数，σ为标准差。μ决定了正态分布的位置，与μ越近，被取到的概率就越大，反之越小。σ描述的是正态分布的离散程度。σ越大，数据分布越分散曲线越扁平；反之，σ越小，数据分布越集中，曲线越陡峭。

利用python随机产生多维高斯分布点

np.random.multivariate_normal方法用于根据实际情况生成一个多元正态分布矩阵(即：从多元正态分布中抽取随机样本)。其在Python3中的定义如下：

def multivariate_normal(mean,cov,size=None,check_valid=None,tol=None)

其中，mean和cov为必须传入的参数，而size，check_valid以及tol为可选参数。
mean：1-D array_like, of length N，即：N维分布的均值，如：[1,1] 各维度的均值；
cov：2-D array_like, of shape (N, N)，即：协方差矩阵，注意：协方差矩阵必须是对称的且需为半正定矩阵；
size：指定生成的正态分布矩阵的维度，int或int的元组，可选。（例如：若size=（1,1,2），则输出的矩阵的shape为：1×1×2×N（N为mean的长度））。

check_valid：该参数用于决定当cov(即：协方差矩阵）不是半正定矩阵时，程序的处理方式，它一共有三个值：warn，raise和ignore。
备注：
（1）当使用warn作为传入的参数时，如果cov不是半正定的程序会输出警告但仍旧会得到结果；
（2）当使用raise作为传入的参数时，如果cov不是半正定的程序会报错且不会计算出结果；
（3）当使用ignore时忽略这个问题即无论cov是否为半正定的都会计算出结果。
tol：检查协方差矩阵奇异值时的公差，为float类型。
范例如下：

#例1：
#生成一个形状为2X2X2的正态分布矩阵
import numpy as np
mean=(1,2)
cov=[[1,0],[0,1]]
x=np.random.multivariate_normal(mean,cov,(2,2),'raise')
print(x)
>>>
[[[-0.02035963  2.79362756]
  [ 1.52210253  1.25649869]]

 [[ 1.21987399  2.5292418 ]
  [ 1.67013603  2.87895882]]]
#例2
#依据均值和协方差生成数据,并进行后续验证运算
import numpy as np
A1_mean=[1,1]
A1_cov=[[2.0,0.99],[1,1]]
A1=np.random.multivariate_normal(A1_mean,A1_cov,5)  #依据指定的均值和协方差生成数据，size=5
print(A1)
>>>
array([[ 0.71297594,  2.47296282],
       [-1.15079462,  0.26879572],
       [ 1.24953037,  1.06155655],
       [ 3.31932598,  2.63042057],
       [ 0.52508056,  2.01427131]])
#进行后续的验证运算
np.mean(A1)  #（1）求全体数的均值
>>>
1.310412520483211    
np.mean(A1,axis=0)  #（2）按列求均值（每列为一组）
>>>
array([0.93122365, 1.68960139])
np.mean(A1,axis=1)   #（3）按行求均值（每行为一组）
>>>
array([ 1.59296938, -0.44099945,  1.15554346,  2.97487328,  1.26967593])
np.cov(A1.T)  #（4）转置后求协方差（和预计的差不多）
>>>
array([[2.58793407, 1.17554392],
       [1.17554392, 1.00433387]])
np.cov(A1).shape  #（5）没有转置，求协方差的大小，即：5*5的矩阵
>>>
np.cov(A1)    #（6）求协方差
>>>
array([[ 1.5487769 ,  1.24923019, -0.16541573, -0.60623224,  1.31047809],
       [ 1.24923019,  1.00761837, -0.13342291, -0.48898173,  1.0570204 ],
       [-0.16541573, -0.13342291,  0.01766708,  0.06474809, -0.13996444],
       [-0.60623224, -0.48898173,  0.06474809,  0.23729533, -0.51295578],
       [ 1.31047809,  1.0570204 , -0.13996444, -0.51295578,  1.10884454]])
#例3
mean=[0,0]
cov=[[1,0],[0,100]]
import matplotlib.pyplot as plt
x, y = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 5000).T   #必须转置
plt.plot(x, y, 'x')    #点标记为“x”
plt.axis('equal')    #设置坐标轴为以（0,0）对称
plt.show()   #结果见下图
#例4
mean=(1,2)
cov=[[1,0],[0,1]]
x=np.random.multivariate_normal(mean,cov,(3,4))
x.shape
>>>
(3, 4, 2)
#The following is probably true, given that 0.6 is roughly twice the standard deviation:
list((x[0,0,:]-mean)<0.6)