拉格朗日鞍点(Lagrange Saddle Point)
拉格朗日鞍点(Lagrange saddle point)是非线性规划问题中满足特定条件的点。对于非线性规划问题(NP)，它的拉格朗日函数是指目标函数和约束条件中函数的如下线性组合：L(x,λ,μ)=f(x)+∑i=1pλigi(x)+∑j=1qμjhj(x)L(x,\lambda,\mu)=f(x)+\sum\limits_{i=1}^p\lambda_ig_i(x)+\sum\limits_{
拉格朗日鞍点(Lagrange saddle point)是非线性规划问题中满足特定条件的点。对于非线性规划问题(NP)，它的拉格朗日函数是指目标函数和约束条件中函数的如下线性组合：
L(x,λ,μ)=f(x)+∑i=1pλigi(x)+∑j=1qμjhj(x) L(x,\lambda,\mu)=f(x)+\sum\limits_{i=1}^p\lambda_ig_i(x)+\sum\limits_{j=1}^q\mu_jh_j(x) L(x,λ,μ)=f(x)+i=1∑pλigi(x)+j=1∑qμjhj(x)
其中 x∈Rn,λ=(λ1,λ2,...,λp)T,μ=(μ1,μ2,...μq)Tx\in R^n,\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_p)^T,\mu=(\mu_1,\mu_2,...\mu_q)^Tx∈Rn,λ=(λ1,λ2,...,λp)T,μ=(μ1,μ2,...μq)T
满足条件
L(x∗,λ,μ)≤L(x∗,λ∗,μ∗)≤L(x,λ∗,μ∗) L(x^*,\lambda,\mu)\le L(x^*,\lambda^*,\mu^*)\le L(x,\lambda^*,\mu^*) L(x∗,λ,μ)≤L(x∗,λ∗,μ∗)≤L(x,λ∗,μ∗)
(x,x∗∈Rn;λ,λ∗∈Rp,λ≥0,λ∗≥0;μ;μ∗∈Rq) (x,x^*\in R^n;\lambda,\lambda^*\in R^p,\lambda\ge0,\lambda^*\ge0;\mu;\mu^*\in R^q) (x,x∗∈Rn;λ,λ∗∈Rp,λ≥0,λ∗≥0;μ;μ∗∈Rq)
的点称为(NP)的拉格朗日鞍点。
定理
设(x∗,λ∗,μ∗)(x^*,\lambda^*,\mu^*)(x∗,λ∗,μ∗)是凸优化问题的KKT点，则(x∗,λ∗,μ∗)(x^*,\lambda^*,\mu^*)(x∗,λ∗,μ∗)为对应的拉格朗日函数的鞍点，同时x∗x^*x∗也是该凸优化问题的全局极小点。
鞍点定理(Saddle Point Theorem)
是关于拉格朗日函数的鞍点与约束优化问题最优点之间的关系定理。鞍点是函数平稳点的一种，应用鞍点的性质，可以推得最优点的充分条件如下：对于约束极小化问题，如果其拉格朗日函数的鞍点 (x∗,λ∗,μ∗)(x^*,\lambda^*,\mu^*)(x∗,λ∗,μ∗) 存在，即有 L(x∗,λ,μ)≤L(x∗,λ∗,μ∗)≤L(x,λ∗,μ∗)L(x^*,\lambda,\mu)\le L(x^*,\lambda^*,\mu^*)\le L(x,\lambda^*,\mu^*)L(x∗,λ,μ)≤L(x∗,λ∗,μ∗)≤L(x,λ∗,μ∗)，那么相应的 x∗x^*x∗ 必是该约束极小化问题的最优点。由于没有涉及函数的凸性与可微性，适用范围较广，但因求解鞍点很困难，且即使原问题的最优点存在，它的拉格朗日函数也不一定有鞍点，故目前并不实用
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