本文介绍了酶作用优化（EAO）算法，这是一种新颖的仿生优化算法，旨在模拟生物系统中的自适应酶机制。EAO采用了一种动态平衡探索和开发的新颖策略，以有效地导航和优化复杂的多维搜索空间。于2025发表在JCR 2区，中科院4区 SCI计算机类期刊 The Journal of Supercomputing。

1、灵感来源

EAO从生物系统中酶的催化行为中汲取灵感。酶是通过与目标分子结合来加速化学反应的特殊蛋白质，称为底物。结合后，酶-底物复合物经历了微妙的结构变化，降低了活化能，增加了反应速率，而不消耗酶[15]。这种适应性机制，其中酶（催化剂）在辅因子和环境信号的影响下促进底物转化，形成了EAO优化算法的基础。在酶动力学中，辅因子、pH水平、温度和浓度梯度都可以影响底物转化。酶采用多种配置并使用灵活的活性位点，平衡代谢途径的探索和开发。类似地，EAO通过采用酶-底物类比与这些自适应步骤平行，其中候选溶液（底物）与迄今为止最佳溶液（酶）相互作用。随机扰动反映了生物过程的随机动力学，如图1所示。

2 EAO的数学模型

本节解释了EAO的数学模型，其中第一步是子策略初始化。搜索代理（子策略）的数量用$N$表示，最大迭代次数用$T$表示，搜索空间的维度用$\text{dim\_search}$表示。每个决策变量被限制在下界（LB）和上界（UB）之间，表示为在每个维度中定义可行区域的向量。令$f(\mathbf{x})$表示要最小化的目标函数。公式(1)提供了子策略池的随机初始化方案：

$${\mathbf{X}}_i^{(0)}=\text{LB}+(\text{UB}-\text{LB})\odot {\mathbf{r}}_i,\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中${\mathbf{X}}_i^{(0)}$是第$i$个搜索代理（子策略）的初始位置，${\mathbf{r}}_i$是[0, 1]中均匀分布的随机值向量，$\odot$表示元素乘法。索引$i$从1到$N$。

一旦生成了初始子策略位置，使用公式(2)评估每个子策略的适应度，从而衡量其质量：

$$F_i^{(0)}=f({\mathbf{X}}_i^{(0)}),\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中$F_i^{(0)}$是第$i$个子策略的初始适应度。

在迭代0时，通过识别$F_i^{(0)}$的最小值来确定最佳子策略，相应的位置定义为${\mathbf{X}}_{\text{best}}^{(0)}$。量$F_{\text{best}}^{(0)}=f({\mathbf{X}}_{\text{best}}^{(0)})$表示迭代0时的最佳适应度值。从$t=1$到$t=T$的主要迭代循环中，采用几种自适应策略。公式(3)定义了每次迭代$t$的自适应因子(AF)：

$${\text{AF}}_t=\sqrt{\frac{t}{\text{MaxIter}}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

此平方根关系确保随着迭代的进行，自适应因子逐渐增加。

在每次迭代$t$时，每个子策略${\mathbf{X}}_i^{(t-1)}$生成两个候选位置。公式(4)描述了第一个子策略候选位置：

$${\mathbf{X}}_{i,1}^{(t)}=({\mathbf{X}}_{\text{best}}^{(t-1)}-{\mathbf{X}}_i^{(t-1)})+{\rho }_i\odot \sin ({\text{AF}}_t\cdot ({\mathbf{X}}_{\text{best}}^{(t-1)}-{\mathbf{X}}_i^{(t-1)}))$$

其中${\rho }_i$是[0, 1]${}^{\text{dim}}$中的随机向量，正弦函数逐元素应用。结果位置${\mathbf{X}}_{i,1}^{(t)}$被限制在区间[LB, UB]内，以确保其在可行区域内。

为了生成第二个子策略候选位置，从集合{1, 2, …, N}中选择两个不同的子策略索引$p,q$。这些索引定义向量$\mathbf{d}$，如公式(5)所示：

$$\mathbf{d}={\mathbf{X}}_p^{(t-1)}-{\mathbf{X}}_q^{(t-1)}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中此差异用于将额外多样性注入搜索过程中。

公式(6)定义了第二个子策略候选位置。它通过结合上述元素构建：

$${\mathbf{X}}_{i,2}^{(t)}={\mathbf{X}}_i^{(t-1)}+s{c}_1{\mathbf{d}}_i+{\text{AF}}_{t}s{c}_2({\mathbf{X}}_{\text{best}}^{(t-1)}-{\mathbf{X}}_i^{(t-1)})$$

系数$s{c}_1$和$s{c}_2$是[EC, 1]区间内的随机缩放因子，其中EC是酶浓度（通常为小常数，例如0.1）。此位置也被限制在[LB, UB]内以保持可行性。

在每次迭代$t$时，评估${\mathbf{X}}_{i,1}^{(t)}$和${\mathbf{X}}_{i,2}^{(t)}$，这两个候选位置如公式(7)所示：

$${\mathbf{X}}_i^{(t)}=\{\begin{array}{ll}{\mathbf{X}}_{i,1}^{(t)},& \text{if }F({\mathbf{X}}_{i,1}^{(t)})<F({\mathbf{X}}_i^{(t-1)}),\\ {\mathbf{X}}_i^{(t-1)},& \text{otherwise}.\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

当达到更好的适应度时，此更新位置替换${\mathbf{X}}_i^{(t-1)}$，如公式(8)所示：

$${\mathbf{X}}_i^{(t)}=\{\begin{array}{ll}{\mathbf{X}}_{i,\text{upd}}^{(t)},& \text{if }F({\mathbf{X}}_{i,\text{upd}}^{(t)})<F({\mathbf{X}}_i^{(t-1)}),\\ {\mathbf{X}}_i^{(t-1)},& \text{otherwise}.\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

然后如公式(9)所示更新全局最佳：

$$\text{if }F({\mathbf{X}}_i^{(t)})<F_{\text{best}}^{(t-1)}⟹{\mathbf{X}}_{\text{best}}^{(t)}={\mathbf{X}}_i^{(t)},F_{\text{best}}^{(t)}=F({\mathbf{X}}_i^{(t)}).\text{\hspace{1em}(9)}$$

在EAO中，每个子策略位置都保持在其允许区间内，通过更新子策略位置到下界和上界向量LB和UB进行约束。在每次更新步骤（公式(4)-(6)）之后，任何超过上界${\text{UB}}_d$的子策略${\mathbf{X}}_i$的维度$d$被设置为${\text{UB}}_d$，任何低于下界${\text{LB}}_d$的维度被设置为${\text{LB}}_d$，如公式(10)所述：

Xi(d)=max⁡(min⁡(Xi(d),UBd),LBd),∀d∈{1,…,dim}.(10) \mathbf{X}_i(d) = \max(\min(\mathbf{X}_i(d), \text{UB}_d), \text{LB}_d), \quad \forall d \in \{1, \ldots, \text{dim}\}. \tag{10} Xi​(d)=max(min(Xi​(d),UBd​),LBd​),∀d∈{1,…,dim}.(10)

这种机制确保了每次迭代时所有解都保持在搜索空间边界内。

为了更好地说明EAO中的更新机制，图4提供了搜索空间的概念布局，展示了这些候选更新如何围绕当前子策略${\mathbf{X}}_i$、差异向量$\mathbf{d}$和最佳子策略旋转。

图4. 最佳子策略更新的概念模型

3、 EAO算法分析

算法1概述了EAO的伪代码。该过程从初始化子策略池（步骤1）和识别最佳解开始。然后，对于每次迭代（步骤2），计算控制因子（AF）。每个子策略产生两个候选位置：

1. 一个位置部分由当前最佳子策略的差异信息形成，向搜索过程中注入种群多样性。
2. 一个位置受两个随机选择的子策略之间差异的影响。

评估后，如果候选位置产生更好的适应度，则替换原始子策略。相应地更新全局最佳解。达到最大迭代次数后，返回最终最佳子策略作为近似全局最优解（步骤3）。

算法1

Rodan, A., Al-Tamimi, AK., Al-Alnemer, L. et al. Enzyme action optimizer: a novel bio-inspired optimization algorithm. J Supercomput 81, 686 (2025). https://doi.org/10.1007/s11227-025-07052-w.

function [OptimalCatalysis, BestSubstrate, conv_curve] = EAO(EnzymeCount, MaxIter, LB, UB, ...
    ActiveSiteDimension, EvaluateCatalysis)
% --- 1) Initialization ---
SubstratePool = LB + (UB - LB) .* rand(EnzymeCount, ActiveSiteDimension);
ReactionRate = arrayfun(@(i) EvaluateCatalysis(SubstratePool(i,:)),1:EnzymeCount)';
[OptimalCatalysis, idx] = min(ReactionRate);
BestSubstrate = SubstratePool(idx,:);
conv_curve = zeros(1, MaxIter);
%EAO parameter (Enzyme Concentration EC)
EC = 0.1;
for t = 1:MaxIter
   
    AF = sqrt(t / MaxIter);
    
    for i = 1:EnzymeCount
        
        % 1) Update FirstSubstratePosition
        FirstSubstratePosition = (BestSubstrate - SubstratePool(i,:)) + rand(1, ActiveSiteDimension) ...
                                 .* sin(AF * SubstratePool(i,:));
        FirstSubstratePosition = max(min(FirstSubstratePosition, UB),LB);
        FirstEvaluation = EvaluateCatalysis(FirstSubstratePosition);
        
        % 2) Pick two random distinct Substrates
        Substrates = randperm(EnzymeCount, 2);
        while any(Substrates == i)
            Substrates = randperm(EnzymeCount, 2);
        end
        S1 = SubstratePool(Substrates(1), :);
        S2 = SubstratePool(Substrates(2), :);
        % 2.1) vector-valued random factors for each dimension
        scA1 = EC + (1-EC)*rand(1, ActiveSiteDimension);
        exA  = (EC + (1-EC)*rand(1, ActiveSiteDimension)) .* AF;
        CandidateA = SubstratePool(i,:) + scA1 .* (S1 - S2) + exA  .* (BestSubstrate - SubstratePool(i,:));
        CandidateA = max(min(CandidateA, UB), LB);
        CandidateAFitness = EvaluateCatalysis(CandidateA);
        % 2.2) scalar random factors for all dimensions
        scB1 = EC + (1-EC)*rand();
        exB  = (EC + (1-EC)*rand()) * AF;
        CandidateB = SubstratePool(i,:) + scB1 .* (S1 - S2) + exB  .* (BestSubstrate - SubstratePool(i,:));
        CandidateB = max(min(CandidateB, UB), LB);
        CandidateBFitness = EvaluateCatalysis(CandidateB);
        % 2.3) Pick better candidate (Update SecondSubstratePosition)
        if CandidateAFitness < CandidateBFitness
            SecondSubstratePosition = CandidateA;
            SecondEvaluation      = CandidateAFitness;
        else
            SecondSubstratePosition = CandidateB;
            SecondEvaluation      = CandidateBFitness;
        end
        % 3) Compare FirstSubstratePosition vs. SecondSubstratePosition
        if FirstEvaluation < SecondEvaluation
            UpdatedPosition = FirstSubstratePosition;
            UpdatedFitness  = FirstEvaluation;
        else
            UpdatedPosition = SecondSubstratePosition;
            UpdatedFitness  = SecondEvaluation;
        end
        % 4) Update SubstratePool & Global Best
        if UpdatedFitness < ReactionRate(i)
            SubstratePool(i, :) = UpdatedPosition;
            ReactionRate(i)     = UpdatedFitness;
            if UpdatedFitness < OptimalCatalysis
                OptimalCatalysis = UpdatedFitness;
                BestSubstrate    = UpdatedPosition;
            end
        end
    end
    conv_curve(t) = OptimalCatalysis;
end
end