1. 定义

旋转矩阵构成了特殊正交群$SO(3)$，齐次变换矩阵构成了特殊欧氏群$SE(3)$，但是旋转矩阵和变换矩阵对于加法是不封闭的，也就是两个旋转矩阵的和不再是一个旋转矩阵。这导致了很难对旋转矩阵进行直接求导，由此需要引入李代数。旋转矩阵R构成了一种李群$SO(3)$，即
SO(3)={R∈R3×3∣RRT=I,det(R)=1}SO(3)=\{R\isin\reals^{3{\times}3}| RR^T=I,det(R)=1\}SO(3)={R∈R3×3∣RRT=I,det(R)=1}
其对应的李代数为定义在${\mathbb{R}}^3$空间中的向量$\mathbf{\varphi }$，即
so(3)={ϕ∈R3,Φ=ϕ∧∈R3×3}so(3)= \{\bm \phi\isin\R^3,\varPhi=\bm\phi^{\land}\isin\R^{3\times3}\}so(3)={ϕ∈R3,Φ=ϕ∧∈R3×3}
其中$\Phi$为$\mathbf{\varphi }$向量对应的反对称矩阵。

2. 指数映射和对数映射

• 指数映射
  是指把李代数转换为李群，旋转矩阵的李代数本质上就是旋转向量，因此与旋转向量转换为旋转矩阵是一样的，即使用罗德里格斯公式进行转换：
  $$\mathbf{R}=exp({\mathbf{\varphi }}^{\wedge })=exp(\theta {\mathbf{a}}^{\wedge })=cos\theta \mathbf{I}+(1-cos\theta )\mathbf{a}{\mathbf{a}}^T+sin\theta {\mathbf{a}}^{\wedge }$$
  其中$\theta$和$\mathbf{a}$分别为向量$\mathbf{\varphi }$的模和方向。
• 对数映射
  是指把旋转对应的李群转换为李代数，即旋转矩阵转换为旋转向量。
  旋转向量的大小为：$$\theta =arccos\frac{tr(\mathbf{R})-1}{2}$$
  根据旋转轴上的向量在旋转后不变的性质，可得方向为旋转矩阵特征1对应的特征向量的方向。
  每个旋转矩阵都对应一个旋转向量，但因为旋转具有周期性，可能多个旋转向量对应一个旋转矩阵，在$-\pi$和$+\pi$之间（一个旋转周期内）两者是一一对应的。

3. 李代数求导与扰动模型

• BCH近似
  两个旋转矩阵（李群）相乘是否与对应的两个旋转向量（李代数）相加等同，答案是并不等同，两个旋转矩阵相乘后的对数映射（李代数）等于对应的两个旋转向量相加后再加上一些由李括号组成的余项，如果忽略二次及以上的余项，可以得到线性的近似公式BCH：
  $$\begin{array}{c}\ln {\left(\exp \left({\varphi }_1^{\wedge }\right)\exp \left({\varphi }_2^{\wedge }\right)\right)}^{\vee }\approx \{\begin{array}{ll}{\mathbf{J}}_l{\left({\varphi }_2\right)}^{-1}{\varphi }_1+{\varphi }_2& \text{ 当 }{\varphi }_1\text{ 为小量, }\\ {\mathbf{J}}_r{\left({\varphi }_1\right)}^{-1}{\varphi }_2+{\varphi }_1& \text{ 当 }{\varphi }_2\text{ 为小量. }\end{array}\end{array}$$$${\mathbf{J}}_l=\mathbf{J}=\frac{\sin \theta }{\theta }\mathbf{I}+\left(1-\frac{\sin \theta }{\theta }\right){\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}+\frac{1-\cos \theta }{\theta }{\mathbf{a}}^{\wedge }$$$${\mathbf{J}}_l^{-1}=\frac{\theta }{2}\cot \frac{\theta }{2}\mathbf{I}+\left(1-\frac{\theta }{2}\cot \frac{\theta }{2}\right)\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}-\frac{\theta }{2}{\mathbf{a}}^{\wedge }$$$${\mathbf{J}}_r(\varphi )={\mathbf{J}}_l(-\varphi )$$
• 旋转求导
  对于某个旋转矩阵$R$（对应的李代数为$\mathbf{\varphi }$）进行微小的扰动，扰动量为$\Delta R$（对应的李代数为$\Delta \mathbf{\varphi }$），如果在李群上进行左扰动，这对应了左乘的扰动模型，根据BCH近似公式，可得：$$exp(\Delta {\mathbf{\varphi }}^{\wedge })exp({\mathbf{\varphi }}^{\wedge })\approx exp((\mathbf{\varphi }+{\mathbf{J}}_l^{-1}(\mathbf{\varphi })\Delta \mathbf{\varphi }{)}^{\wedge })$$如果在李群上进行右扰动，这对应了右乘的扰动模型，根据BCH近似公式，可得：$$exp({\mathbf{\varphi }}^{\wedge })exp(\Delta {\mathbf{\varphi }}^{\wedge })\approx exp((\mathbf{\varphi }+{\mathbf{J}}_r^{-1}(\mathbf{\varphi })\Delta \mathbf{\varphi }{)}^{\wedge })$$如果直接在李代数上进行加法，这对应了李代数的求导，根据BCH近似公式，可得：
  $$exp((\mathbf{\varphi }+\Delta \mathbf{\varphi }{)}^{\wedge })\approx exp(({\mathbf{J}}_l\Delta \mathbf{\varphi }{)}^{\wedge })exp({\mathbf{\varphi }}^{\wedge })\approx exp({\mathbf{\varphi }}^{\wedge })exp(({\mathbf{J}}_r\Delta \mathbf{\varphi }{)}^{\wedge })$$总结，对于旋转的求导，有李代数求导和左右扰动模型三种方式，常使用扰动模型进行求导，在求导时候可能还需要用到李群和李代数的一些性质，具体有：
  伴随性质$$R^{T}exp({\mathbf{\varphi }}^{\wedge })R=exp((R^T\mathbf{\varphi }{)}^{\wedge })$$$$Rexp({\mathbf{\varphi }}^{\wedge })R^T=exp((R\mathbf{\varphi }{)}^{\wedge })$$$$R^T{\mathbf{\varphi }}^{\wedge }R=(R^T\mathbf{\varphi }{)}^{\wedge }$$$$R{\mathbf{\varphi }}^{\wedge }{R}^T=(R\mathbf{\varphi }{)}^{\wedge }$$
  李群的逆等于对应李代数取负，即：$$(exp({\mathbf{\varphi }}^{\wedge }){)}^{-1}=exp(-{\mathbf{\varphi }}^{\wedge })$$
  在求导时李群可以进行一阶泰勒展开，即：$$exp({\mathbf{\varphi }}^{\wedge })\approx I+{\mathbf{\varphi }}^{\wedge }$$