在多体动力学里面有并矢的概念，其实就是一个二阶张量的表达。

矢量 $\mathbf{a}$ 和矢量 $\mathbf{b}$的并矢积 $\mathbf{ab}$定义为按下列规则变换任意矢量的变换
$$(\mathbf{ab})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})$$

我们可以说明并矢满足张量的定义(加法和数乘)：

$$\begin{array}{rl}& (\mathbf{ab})\cdot (\alpha \mathbf{c}+\beta \mathbf{d})=\mathbf{a}[\mathbf{b}\cdot (\alpha \mathbf{c}+\beta \mathbf{d})]\\ =& \mathbf{a}[\alpha (\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})+\beta (\mathbf{b}\cdot \mathbf{d})]=\alpha \mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})+\beta \mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot \mathbf{d})\\ =& \alpha (\mathbf{ab})\cdot \mathbf{c}+\beta (\mathbf{ab})\cdot \mathbf{d}\end{array}$$

为什么说它是一个二阶张量呢。我们可以得到它的分量：

$$\begin{array}{rl}(\mathbf{ab}{)}_{\mathrm{ij}}& ={\mathbf{e}}_{\mathrm{i}}\cdot (\mathbf{ab})\cdot {\mathbf{e}}_{\mathrm{j}}={\mathbf{e}}_{\mathrm{i}}\cdot \left[\mathbf{a}\left(\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_{\mathrm{j}}\right)\right]={\mathbf{e}}_{\mathrm{i}}\cdot \left(\mathbf{a}{b}_{\mathrm{j}}\right)\\ & =\left({\mathbf{e}}_{\mathrm{i}}\cdot \mathbf{a}\right)b_{\mathrm{j}}=a_{\mathrm{i}}{b}_{\mathrm{j}}\end{array}$$

有时我们也写作：

$$(\mathbf{ab}{)}_{\mathrm{ij}}=(\mathbf{a}\otimes \mathbf{b}{)}_{\mathrm{ij}}=a_{\mathrm{i}}{b}_{\mathrm{j}}$$

它的分量的总表达式可以写作：

$$[\mathbf{ab}]=\left[\begin{array}{lll}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_2{b}_3\\ a_3{b}_1& a_3{b}_2& a_3{b}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]$$

它的标架可以表示为：${\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j，i,j=1,2,3$

列举两个：

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{\mathbf{e}}_1{\mathbf{e}}_1=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\\ {\mathbf{e}}_1{\mathbf{e}}_2=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array} \\ \cdots \end{gathered}$$

于是可以并矢（二阶张量）可以写作：

$$\begin{array}{c}\mathbf{T}=T_{11}\left({\mathbf{e}}_1{\mathbf{e}}_1\right)+T_{12}\left({\mathbf{e}}_1{\mathbf{e}}_2\right)+\cdots +T_{33}\left({\mathbf{e}}_3{\mathbf{e}}_3\right)\\ \text{ 即 }\mathbf{T}=T_{ij}{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j\end{array}$$

张量的本质我自我感觉就是标架（一阶张量为${\mathbf{e}}_i$，二阶张量为${\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j$,高阶以此类推）和坐标（分量）。