施密特正交化（Schmidt）

n维向量空间RnRnR^n中得出的一组线性无关的向量a1,a2,.....ana1,a2,.....ana_1,a_2,.....a_n怎么确定一组两两正交的向量？使每一个在原坐标系中向量在新的正交基下确定的坐标系中重新确定坐标？施密特正交化用于对向量空间中的一组线性无关的向量a1,a2,....ana1,a2,....ana_1,a_2,....a_n确定一组正交基e1,e2,....

oneslide

12450人浏览 · 2018-08-01 20:15:12

oneslide · 2018-08-01 20:15:12 发布

n维向量空间 $R^n$ 中得出的一组线性无关的向量 $a_1,a_2,.....a_n$
怎么确定一组两两正交的向量？使每一个在原坐标系中向量在新的正交基下确定的
坐标系中重新确定坐标？

施密特正交化用于对向量空间中的一组线性无关的向量 $a_1,a_2,....a_n$
确定一组正交基 $e_1,e_2,......e_n$ .

定义向量内积运算：
$[a,b]=∑i=1nxiyi[a,b]=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i$
$b_1=a_1$
$br=ar−∑i=1r−1[bi,ar][bi,bi]bib_r=a_r-\sum_{i=1}^{r-1} \frac{[b_i,a_r]}{[b_i,b_i]}b_i$
因此定义出一组正交基：
$ei=1∣∣bi∣∣bie_i=\frac{1}{||b_i||}b_i$

证明过程

如何更直观的感受到，向量正交化的过程？

从最简单的两个向量开始，假设现在有 $α1,α2\alpha_1, \alpha_2$ 两个向量，要将 $α1,α2\alpha_1, \alpha_2$ 化成相互垂直的向量 $β1,β2\beta_1,\beta_2$

以下用 $α\alpha$ 表示向量 $α⃗\vec{\alpha}$

在这里插入图片描述
如果向量 $α2\alpha_2$ 要去除 $α1\alpha_1$ 方向的分量：

若设 $e_1$ 为 $α1\alpha_1$ 方向的单位向量：
$β1=α1β2=α2−∣α2∣cosθ⋅e1\beta_1 = \alpha_1 \beta_2 = \alpha_2 - |\alpha_2| cos\theta \cdot e_1$

$cosθcos\theta$ 怎么求？回想向量数量积（内积）的知识点：

$α1α2=∣α1∣⋅∣α2∣cosθ⇒cosθ=α1α2∣α1∣⋅∣α2∣\alpha_1 \alpha_2 = |\alpha_1| \cdot |\alpha_2| cos\theta \Rightarrow cos\theta = \frac{\alpha_1 \alpha_2}{ |\alpha_1| \cdot |\alpha_2|}$

$e_1$ 怎么求？即向量除以其向量模, 若以 $α1\alpha_1$ 为其中一个坐标轴，即 $α1=β1\alpha_1= \beta_1$

$e1=α1∣α1∣=β1∣β1∣e_1 = \frac {\alpha_1}{|\alpha_1|} = \frac {\beta_1}{|\beta_1|}$

那么因此：
$\beta_2 = \alpha_2 - |\alpha_2| cos\theta \cdot e_1= \alpha_2 - \bcancel {|\alpha_2|} \cdot \frac{\beta_1 \alpha_2}{ |\beta_1| \cdot \bcancel {|\alpha_2|}} \cdot \frac {\beta_1}{|\beta_1|} = \alpha_2 - \frac{\beta_1 \alpha_2}{ |\beta_1| \cdot |\beta_1|} \cdot \beta_1 = \alpha_2 - \frac{\beta_1 \cdot \alpha_2}{ |\beta_1| \cdot |\beta_1|} \cdot \beta_1$

即：
$\begin{aligned} & \beta_1 = \alpha_1 \\ & \beta_2 =\alpha_2 - \frac{\alpha_2 \cdot \beta_1}{ |\beta_1| \cdot |\beta_1|} \cdot \beta_1 \end{aligned} (结论\textcircled 1）$

通过上一步，我们得到两个互相垂直的向量 $β1,β2\beta_1,\beta_2$

此时，有一个向量 $α3\alpha_3$ , 如何求出与垂直于 $β1,β2\beta_1,\beta_2$ 的向量 $β3\beta_3$ ?

即同上一步一样， $α3\alpha_3$ 减去 $β1,β2\beta_1,\beta_2$ 方向上的分量：

$\beta_3 = \alpha_3 - |\alpha_3| \cdot cos\theta \cdot e_1 - |\alpha_3| \cdot cos\varphi \cdot e_2 \xlongequal{利用结论 \textcircled 1} \alpha_3 - \frac{\alpha_3 \cdot \beta_1}{|\beta1||\beta1|} \beta1 - \frac{\alpha_3 \cdot \beta_2}{|\beta2||\beta2|} \beta2$

在这里插入图片描述

那么结合上一步的结论我们可以递推出 $βn\beta_n$

$\beta_n = \alpha_n - \frac{\alpha_n \cdot \beta_1}{|\beta1||\beta1|} \beta1 - \frac{\alpha_n \cdot \beta_2}{|\beta2||\beta2|} \beta2 - \cdots \frac{\alpha_n \cdot \beta_{n-1}}{| \beta_{n-1}|| \beta_{n-1}|} \beta_{n-1}$

为了统一形式，我们将数量积 $α⋅β\alpha \cdot \beta$ 记为 $⟨α,β⟩\langle \alpha , \beta \rangle$ , 得出递推式：

$\begin{aligned} & \beta_1 = \alpha_1 \\ & \beta_2 =\alpha_2 - \frac{ \langle \alpha_2 , \beta_1 \rangle }{ \langle \beta_1, \beta_1 \rangle} \beta_1 \\ & \beta_3 = \alpha_3 - \frac{ \langle \alpha_3 , \beta_1 \rangle}{ \langle \beta1, \beta1 \rangle} \beta1 - \frac{ \langle \alpha_3 , \beta_2 \rangle}{ \langle \beta2 , \beta2 \rangle} \beta2 \\ & \cdots \\ & \beta_n = \alpha_n - \frac{\langle \alpha_n , \beta_1 \rangle }{\langle \beta1, \beta1\rangle} \beta1 - \frac{\langle \alpha_n , \beta_2 \rangle}{\langle \beta2 , \beta2\rangle} \beta2 - \cdots \frac{ \langle \alpha_n , \beta_{n-1} \rangle}{\langle \beta_{n-1} ,\beta_{n-1} \rangle} \beta_{n-1} \end{aligned} 结论\textcircled 2$