图像上的理解

1. 卷积的几何解释（重叠面积）：

   • 在连续的情况下，卷积可以理解为两个函数图像的重叠面积。具体步骤如下：
     1. 将其中一个函数翻转（通常是冲激响应函数）
     2. 将翻转后的函数沿着水平轴平移
     3. 在每一个平移位置上，计算两个函数的重叠部分的面积（即它们的乘积的积分）
     4. 这个重叠面积随平移位置的变化而变化，形成一个新的函数，这个函数就是卷积的结果

2. 卷积和的离散点与点之间的卷积：
   【 在离散卷积计算中，输出序列的长度通常是输入序列长度之和减去1。因此，对于两个长度为 M 和 N 的序列 x 和 h，它们的卷积结果的长度为 M+N−1 】

   • 在离散情况下，卷积和可以理解为数组与数组之间的点积的累加。具体步骤如下：
     1. 将其中一个序列（数组）翻转
     2. 将翻转后的序列沿着另一个序列进行平移
     3. 在每一个平移位置上，计算两个序列对应位置元素的乘积之和（即点积）
     4. 这个点积随平移位置的变化而变化，形成一个新的序列，这个序列就是卷积和的结果

数学上的理解

1. 卷积（连续）：

   • 数学上，卷积定义为两个函数的乘积的积分，其公式为：
     $$(f\ast g)(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$
     这表示将函数 g 反转并平移后与 f 的重叠区域的积分。

2. 卷积和（离散）：

   • 在离散情况下，卷积和定义为两个序列的点积之和，其公式为：
     $$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]h[n-k]$$
     这表示将序列 h 反转并平移后与 x 对应位置的元素相乘，再将这些乘积求和。

例子

假设我们有两个序列 x 和 h ： x = [1, 2, 3] h = [4, 5, 6]

它们的卷积和可以通过以下步骤计算：

1. 将 h 翻转：$$h_{flipped}=[6,5,4]$$
2. 将 $$h_{flipped}$$ 平移并与 x 逐元素相乘并求和：

$$\begin{array}{rl}y[0]& =1\cdot 6+0\cdot 5+0\cdot 4=6\\ y[1]& =2\cdot 6+1\cdot 5+0\cdot 4=17\\ y[2]& =3\cdot 6+2\cdot 5+1\cdot 4=38\\ y[3]& =0\cdot 6+3\cdot 5+2\cdot 4=23\\ y[4]& =0\cdot 6+0\cdot 5+3\cdot 4=12\end{array}$$

结果是：y = [6, 17, 38, 23, 12] ，这就是 x 和 h 的卷积和。