依概率收敛和依分布收敛（附一道例题）
依概率收敛，依分布收敛。
写在前面
这几日做到一道和依分布和概率收敛的例题，感觉对加深理解很有帮助，因此也记录在博客上面。
随机变量的收敛
定义X1,⋯ ,XnX_1, \cdots, X_nX1,⋯,Xn为随机变量序列，XXX是另一个随机变量，FnF_nFn表示XnX_nXn的CDF，FFF表示CDF。
依概率收敛
∀ϵ>0,n→∞,\forall \epsilon>0,n \rightarrow \infin,∀ϵ>0,n→∞,有P(∣Xn−X∣>ϵ)→0,\mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon) \rightarrow0,P(∣Xn−X∣>ϵ)→0,则称XnX_nXn依概率收敛于XXX。
依分布收敛
若对FFF任意连续的点ttt，有limn→∞Fn(t)=F(t)\lim_{n\rightarrow \infty}F_n(t)=F(t)n→∞limFn(t)=F(t)
则称XnX_nXn依分布收敛于XXX.
一个很有助于加深理解的例题
设Xn∼N(0,1n)X_n \sim N(0, \frac{1}{n})Xn∼N(0,n1)；XXX为随机变量，分布为F(x)=0,ifX<0;F(x)=1,ifX≥0F(x)=0,if X<0;F(x)=1,if X \ge 0F(x)=0,ifX<0;F(x)=1,ifX≥0.
问XnX_nXn是否依据概率或依分布收敛于X?
首先考虑依分布收敛，
Let Yn=nXn,s.t. Yn∼N(0,1).Let \ Y_n=\sqrt{n}X_n, s.t. \ Y_n \sim N(0,1).Let Yn=nXn,s.t. Yn∼N(0,1).
F(x)=P(X≤x)=P(nX≤nx)=P(Y≤nx) F(x)=P(X \le x)=P(\sqrt{n}X \le \sqrt{n}x)\\ =P(Y \le \sqrt{n}x)F(x)=P(X≤x)=P(nX≤nx)=P(Y≤nx)从而
limn→∞FY(nx)=0 ifx<0limn→∞FY(nx)=1 ifx>0 \lim_{n\rightarrow\infty}F_{Y}(\sqrt{n}x)=0 \ ifx<0 \\ \lim_{n\rightarrow\infty}F_{Y}(\sqrt{n}x)=1 \ ifx\gt0n→∞limFY(nx)=0 ifx<0n→∞limFY(nx)=1 ifx>0因此，以分布收敛于XXX。不考虑X=0X=0X=0的点是因为不是连续的点，不在定义所谈论的范围内。
其次考虑以概率收敛的问题：
P(∣Xn−X∣>ϵ)=P(Xn−X>ϵ)+P(Xn−X<−ϵ)=P(Xn>0+ϵ)+P(Xn<−ϵ)≤P(Xn>ϵ)+P(Xn≤−ϵ)≤1−Fn(ϵ)+Fn(−ϵ)→1−F(ϵ)+F(−ϵ)≤1−1+0=0 \begin{aligned} P(|X_n-X| > \epsilon) &= P(X_n-X> \epsilon) + P(X_n-X< -\epsilon)\\ &=P(X_n > 0+\epsilon) + P(X_n < -\epsilon) \\ &\le P(X_n>\epsilon) + P(X_n \le -\epsilon)\\ &\le 1-F_n(\epsilon)+F_n(-\epsilon)\\ &\rightarrow 1-F(\epsilon)+F(-\epsilon)\\ &\le 1-1+0=0 \end{aligned} P(∣Xn−X∣>ϵ)=P(Xn−X>ϵ)+P(Xn−X<−ϵ)=P(Xn>0+ϵ)+P(Xn<−ϵ)≤P(Xn>ϵ)+P(Xn≤−ϵ)≤1−Fn(ϵ)+Fn(−ϵ)→1−F(ϵ)+F(−ϵ)≤1−1+0=0因此同样依概率收敛。其中，倒数第二个箭头是因为已经知道依分布收敛。
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