翻译自《Word2Vec Tutorial Part II: The Continuous Bag-of-Words Model》

（本文章矩阵相乘输入写在点乘右侧）

在前一篇文章推导了跳字模型并解释了什么是词向量，本篇探究词向量的另一个模型：连续词袋模型（CBOW）。如果理解了跳字模型，词袋模型也很直观，因为两者有很多相似点。例如词袋模型的结构图：

看起来就像跳字模型将输入输出翻转了。对于窗口大小为C，词典词汇数 V，输入层由单词的独热编码组成，隐层是N维向量h，最终的输出层是训练样本中的单词y的独热编码。独特编码的输入向量通过V×N的权重矩阵W与隐层连接，隐层通过N×V的权重矩阵W′与输出层连接

 

前向传播

我们先来理解输出是怎么从输入计算得到的。假设我们已经得到了权重矩阵（下一节介绍是怎么训练的）。第一步是计算隐层的输出h，公式如下：

是输入向量与矩阵W加权后的平均。 隐层输出的计算时跳字模型和连续词袋模型的区别之一。然后计算输出层每个节点的输出：

是输出权重矩阵W′的第j列. 输出 是将  经过softmax函数获得 

（感觉这个式子分子和分母的exp的指数都应该改成对输出层每个节点求和）

知道前向传播的工作原理，现在可以学习权重矩阵：W 和 W′.

通过反向传播学习权重矩阵 

在学习权重矩阵 W 和 W′的过程中，我们先随机初始化，然后不断使用训练样本来计算预测输出与实际输出的误差，并计算误差对权重矩阵元素的梯度，然后沿着梯度方向来纠正参数，这就是一般的随机梯度下降（SGD）。

首先定义损失函数，目标是在给定的上下文，最大化输出单词的条件概率，因此损失函数为（这里对上式softmax取对数的相反数）：

（感觉这个公式最后的第二项应该为正而不是负）

这里 是实际输出单词的下标。下一步是推导隐层-输出层的权重W′的更新公式，然后是推导输入-隐层的权重W的更新公式

 

隐层-输出层的权重更新

首先计算损失函数 E 对输出层第 j 个节点的输入的导数

（yj就是上面的softmax了）

这里 若  否则 .

这是输出层节点 j 的估计误差。然后用链式法则求E对输出层权重的导数

这里已经得到对任意输出权重的导数，可以定义随机梯度下降的公式：

或者：

η>0是学习率.

更新输入-隐层的权重

现在尝试对输入权重wij做类似推导。

首先计算E对任意隐层节点hi的导数（同样利用链式法则）

这里求和是由于 隐层节点hi 与输出层每个节点都有连接，因此预测误差需要合并。然后计算E对任意输入权重的导数

（这个公式，结果是矩阵，应该是E对整个W求导）

 表示输入向量第k个元素，EH是N维向量， 元素是 ，.

然而由于输入x是独热编码，所以N×V矩阵只有一行非0，所以对于输入权重最终的随机梯度下降公式是：

是输入文本的第c个词（第几个词都一样计算） .