背景

神经网络快速发展，对传统的数学问题求解提出了新的思路，积分问题传统方式采用牛顿莱布尼茨公式，存在原函数难以找到的不足，以及现有被积函数的表达式可能无法显式表达，只能通过离散点来表示，而神经网络不依赖表达式，只要有离散的点（被积函数曲线上的点）即可完成积分。但缺点是不如传统得到原函数表达式的情况，神经网络积分不能计算任意定义域内的，必须是训练集给定的范围内的。

问题描述

$2x+exp(x)$
给定区间$xin(-1,1)$上积分
原函数为$x^2+exp(x)$
可计算F(1)-F(0)得到真实值用来测试精度

神经网络搭建

        # 原函数网络
        self.raw_net = Sequential([
            # 需要指定input_shape 否则报错shape不匹配
            layers.Dense(1, input_shape=(1,), activation=activation),
            layers.Dense(8, activation=activation),
            layers.Dense(32, activation=activation),
            layers.Dense(8, activation=activation),
            layers.Dense(1, )
        ])

搭建一个菱形网络

模型训练

神经网络为原函数等效器，通过train step的方式完成自动微分，得到被积函数等效器，利用已知的被积函数函数值进行偏差计算，输出loss后反向传播更新神经网络梯度，最后得到原函数等效器用于计算积分值。

训练结果

蓝线和绿线几乎重合了，同时黄线幅值过大导致两者几乎重合。
可见loss下降正常，但黄线上升，下面分析原因：

原函数的拟合情况如图所示，差距增大主要是因为从开始的接近到最后的稳定间隔分离，所以需要进行修正，修正的方式经过思考加入了值约束，将其考虑到loss中，修正后重新训练模型：

可见效果取得了质的飞跃，之前的问题也全部解决，可作为亮点和核心关键算法来写。

扩展工作

神经网络的优势还在于网络模型结构不用变化，可适应一般情况。所以这里修改被积函数为

配置超参数如下：

训练效果：


可见原函数拟合效果极佳
调整迭代次数，得到

实际应用中可根据精度要求以及计算速度的要求灵活选取迭代次数，所以该方法工程落地的指导性较强。
基于本博客的思想和扩展工作成果，本人已撰写一篇论坛论文，欢迎技术交流！

备注

如需技术支持（源码+本项目相关的任何问题答疑），请打赏支付宝并添加支付宝好友备注。

代码质量可靠有保障，提供了丰富的用户接口可以自定义实验，还可根据你的个性化需求进行代码定制修改（比如修改被积函数），提供的主要用户接口如下：

    bias = 1#原函数的偏置量
    epochs = 5000
    lr = 0.001
    train_model = True
    retrain = False
    # 首先xl和xr的范围，不能超出范围去预测范围外的积分值
    xl = -1
    xr = 1
    size = 1000
    epoch_interval = 200
    # tanh relu sigmoid elu selu
    # softmax softplus softsign hard_sigmoid exponential
    # linear
    activation = 'elu'