n阶非零矩阵AB，矩阵AB=0，则A和B的秩都小于n
设A，B是两个n阶非零方阵，且AB=0，则A和B的秩都小于n证明：∵AB=0∵AB=0∵AB=0∴B的每一个列向量（每一列）都是方程AX=0的解∴B的每一个列向量（每一列）都是方程AX=0的解∴B的每一个列向量（每一列）都是方程AX=0的解设R(A)=r，则方程AX=0中，线性无关的解的个数最多为n−r设R(A)=r，则方程AX=0中，线性无关的解的个数最多为n-r设R(A)=r，则方程AX=0中
·
设A，B是两个n阶非零方阵，且AB=0，则A和B的秩都小于n
证明：
∵AB=0 ∵AB=0 ∵AB=0
∴B的每一个列向量（每一列）都是方程AX=0的解 ∴B的每一个列向量（每一列）都是方程AX=0的解 ∴B的每一个列向量（每一列）都是方程AX=0的解
设R(A)=r，则方程AX=0中，线性无关的解的个数最多为n−r 设R(A)=r，则方程AX=0中，线性无关的解的个数最多为n-r 设R(A)=r，则方程AX=0中，线性无关的解的个数最多为n−r
∴R(B)≤n−r=n−R(A) ∴R(B)≤n-r=n-R(A) ∴R(B)≤n−r=n−R(A)
∴R(B)+R(A)≤n ∴R(B)+R(A)≤n ∴R(B)+R(A)≤n
∵A和B都是n阶非0矩阵 ∵A和B都是n阶非0矩阵 ∵A和B都是n阶非0矩阵
∴R(B)≠0，R(A)≠0 ∴R(B)≠0，R(A)≠0 ∴R(B)=0，R(A)=0
∴R(A)<n，R(B)<n ∴R(A)<n，R(B)<n ∴R(A)<n，R(B)<n
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