1 集合论

1.0 映射与符号体系

1.0.1 映射

$\text{Definition}$ 映射

设 $X,Y$ 为两个非空集合，若存在一种对应法则 $f$，使得对于所有 $x\in X$ 都存在唯一的 $y\in Y$ 与之对应，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的一个映射，记为
$$\begin{array}{rl}f:X& \to Y\supseteq f(X)\\ \forall x& \mapsto \exists !y=f(x)\end{array}$$
其中

1. $y=f(x)$ 称 $x$ 在映射 $f$ 下的像，$x$ 称为 $y$ 的原像 ；

2. $X$ 为定义域，$Y$ 称为 陪域；

3. f ( X ) = I m f = { f ( x ) : x ∈ X } f(X)=\mathrm{Im}f=\{f(x):x\in X\} f(X)=Imf={f(x):x∈X} 称 值域 或 像集 ，且 $f(X)\subseteq Y$.

另外

1. 若 $f(X)=Y$，则映射为满射；
2. 若 $\forall x_1,x_2\in X(x_1\ne x_2):f(x_1)\ne f(x_2)$，则称映射为单射；
3. 若即为单射又为满射，则称 双射 (又称 一 一映射)；
4. 映射 $f:X\to Y$ 为双射 $\iff$ 存在逆映射 $f^{-1}:Y\to X$；
5. 若 $f:X\to Y,g:Y\to Z$，则复合映射
   $$\begin{array}{rl}g\circ f:X& \to Z\\ x& \mapsto z=g(f(x))\end{array}$$

1.0.2 符号体系

集合	符号	含义
空集	$\varphi$	不包含任何元素的集合
正整数集	${\mathbb{N}}^{\ast }$、${\mathbb{N}}_{+}$	{ 1 , 2 , ⋯   } \{1,2,\cdots\} {1,2,⋯}
自然数集	$\mathbb{N}$、${\mathbb{N}}_0$	{ 0 , 1 , 2 , ⋯   } \{{\color{red}0},1,2,\cdots\} {0,1,2,⋯}
整数集	$\mathbb{Z}$	{ ⋯   , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯   } \{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\} {⋯,−2,−1,0,1,2,⋯}
有理数集	$\mathbb{Q}$	$\frac{a}{b}(a,b\in \mathbb{Z};b\ne 0)$
实数集	$\mathbb{R}$	有理数与无理数的统称
复数集	$\mathbb{C}$	$$\begin{gathered} z=a+bi=\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)i \\ (a,b\in \mathbb{R};i^2=-1) \end{gathered}$$
数域	$\mathbb{F}$、$\mathbb{K}$	任意两个元素和、差、积、商四则运算封闭的复数集.
指标集/索引集	$\Lambda$	{ A λ : λ ∈ Λ } = { A λ } λ ∈ Λ \{A_{\lambda}:\lambda\in\Lambda\}=\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda} {Aλ​:λ∈Λ}={Aλ​}λ∈Λ​

含于 (类比 “$⩽$” )	真含于 (类比 “$<$”)	属于
$\subseteq$	$\subset$	$\in$
$\subseteq$	$⊊$
$⫅$	$⫋$

集合关系	交	并	补	对称差
	$\cap$	$\cup$	$A^c$	$\Delta$
全称量词、存在量词	任意	存在
	$\forall$	$\exists$
布尔逻辑	与(and)	或(or)	非(not)	异或(xor)	同或(xnor)	与非(nand)	或非(nor)
	$\wedge$	$\vee$	$\neg$	$\oplus$	$\odot$、$\neg (A\oplus B)$	$\neg (A\wedge B)$	$\neg (A\vee B)$

楔积 / 外积	对称积	内积	直和	直积 / 笛卡尔积	张量积	克罗内克积 (张量积的一种特殊形式)
Wedge Product / Exterior Product	Symmetric Product	Inner Product	Direct Sum	Direct Product / Cartesian product	Tensor Product	Kronecker Product
$\wedge$	$\vee$	$⟨,⟩$	$\oplus$	$\times$	$\otimes$	$\otimes$

1.1 集合

1.1.1 集合关系与运算律

$\text{Definition}$ 集合关系与运算

0. 子集、真子集：
   $$\begin{gathered} \forall a\in A:a\in B\iff A\subseteq B \\ A\subseteq B\wedge A\ne B\iff A\subset B \end{gathered}$$

1. 幂集： 所有子集 (包括自身与空集) 构成的集合.
   2 A = { S : S ⊆ A } 2^A=\{S:S\subseteq A\} 2A={S:S⊆A}

2. 并集：
   A ∪ B = { x : x ∈ A ∨ x ∈ B } ⋃ α ∈ Λ A α = { x : ∃ α ∈ Λ ,   s . t .   x ∈ A α } \begin{align*} A\cup B&=\{x:x\in A\vee x\in B\} \\\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha&=\{x:\exists \alpha\in\Lambda,\ \mathrm{s.t.}\ x\in A_\alpha\} \end{align*} A∪Bα∈Λ⋃​Aα​​={x:x∈A∨x∈B}={x:∃α∈Λ, s.t. x∈Aα​}​

3. 交集：
   A ∩ B = { x : x ∈ A ∧ x ∈ B } ⋂ α ∈ Λ A α = { x : ∀ α ∈ Λ , x ∈ A α } A\cap B=\{x:x\in A \wedge x\in B\} \\\bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha}=\{x:\forall \alpha\in\Lambda,x\in A_\alpha\} A∩B={x:x∈A∧x∈B}α∈Λ⋂​Aα​={x:∀α∈Λ,x∈Aα​}

4. 差集：
   A \ B = A − B = A ∩ B c = { x : x ∈ A ∧ x ∉ B } A\backslash B =A-B =A\cap B^c =\{x:x\in A \wedge x\notin B \} A\B=A−B=A∩Bc={x:x∈A∧x∈/B}

5. 余集(补集)：
   A c = R \ A = R − A = { x : x ∈ R ∧ x ∉ A } A^c =\R\backslash A =\R-A =\{x:x\in \R \wedge x\notin A\} Ac=R\A=R−A={x:x∈R∧x∈/A}

6. 直积(笛卡尔积)：
   $$\begin{array}{rl}A\times B& =\{(x,y):x\in A\wedge y\in B\}\\ \prod _{i=1}^{\infty }{A}_i& =\{(x_1,x_2,\cdots ):x_i\in A_i,i\in {\mathbb{N}}^{+}\}\end{array}$$

7. 交换律：
   $$\begin{gathered} A\cup B=B\cup A \\ A\cap B=B\cap A \end{gathered}$$

8. 结合律：
   $$\begin{gathered} A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C \\ A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C \end{gathered}$$

9. 分配律：
   $$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

10. 德摩根律：
    $$\begin{gathered} (A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c,(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c \\ {\left(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }{A}_{\lambda }\right)}^c=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }{A}_{\lambda }^c,{\left(\bigcap _{\lambda \in \Lambda }{A}_{\lambda }\right)}^c=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }{A}_{\lambda }^c \end{gathered}$$

11. 对称差：
    A Δ B = ( A − B ) ∪ ( B − A ) = ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) = { x : ( x ∈ A ) X O R ( x ∈ B ) } \begin{align*} A\Delta B&=(A-B)\cup(B-A) \\&=(A\cup B)-(A\cap B) \\&=\{x:(x\in A)XOR(x\in B)\} \end{align*} AΔB​=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)={x:(x∈A)XOR(x∈B)}​

1.1.2 集合语言

$\text{Theorem}$

⋃ λ ∈ Λ A λ = { x : ∃ λ ∈ Λ   , s . t .   x ∈ A λ } ⋂ λ ∈ Λ A λ = { x : ∀ λ ∈ Λ : x ∈ A λ } \begin{aligned} {\color{red}\bigcup\limits_{\color{green}\lambda\in\Lambda}}{\color{brown}A_{\lambda}} &=\{x:{\color{red}\exists} {\color{green}\lambda\in\Lambda}\ ,\mathrm{s.t.\ }x\in {\color{brown}A_{\lambda}}\} \\ \\{\color{blue}\bigcap\limits_{\color{tan}\lambda\in\Lambda}}{\color{brown}A_{\lambda}} &=\{x:{\color{blue}\forall} {\color{tan}\lambda\in\Lambda} :x\in {\color{brown}A_{\lambda}}\} \end{aligned} λ∈Λ⋃​Aλ​λ∈Λ⋂​Aλ​​={x:∃λ∈Λ ,s.t. x∈Aλ​}={x:∀λ∈Λ:x∈Aλ​}​

$\text{Example}$ 上、下极限

1. 数列上、下极限：
   l i m ‾ ⁡ n → ∞ a n = lim sup ⁡ n → ∞ a n = lim ⁡ n → ∞ sup ⁡ k ≥ n { a k } = inf ⁡ n ≥ 1 sup ⁡ k ≥ n { a k } l i m ‾ ⁡ n → ∞ a n = lim inf ⁡ n → ∞ a n = lim ⁡ n → ∞ inf ⁡ k ≥ n { a k } = sup ⁡ n ≥ 1 inf ⁡ k ≥ n { a k } \begin{aligned} &\varlimsup_{n\to\infty}a_n =\limsup\limits_{n\to\infty}a_n =\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{k\ge n}\{a_k\} =\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge n}\{a_k\} \\ &\varliminf_{n\to\infty}a_n =\liminf\limits_{n\to\infty}a_n =\lim\limits_{n\to\infty}\inf\limits_{k\ge n}\{a_k\} =\sup\limits_{n\ge 1}\inf\limits_{k\ge n}\{a_k\} \end{aligned} ​n→∞lim​an​=n→∞limsup​an​=n→∞lim​k≥nsup​{ak​}=n≥1inf​k≥nsup​{ak​}n→∞lim​​an​=n→∞liminf​an​=n→∞lim​k≥ninf​{ak​}=n≥1sup​k≥ninf​{ak​}​

2. 集合列上、下极限：
   l i m ‾ ⁡ n → ∞ A n = lim sup ⁡ n → ∞ A n = inf ⁡ n ⩾ 1 sup ⁡ k ⩾ n { A k } = ⋂ n ⩾ 1 ⋃ k ⩾ n A k = { x : ∀ n ⩾ 1 , ∃ k ⩾ n ,   s . t . x ∈ A k } l i m ‾ ⁡ n → ∞ A n = lim inf ⁡ n → ∞ A n = sup ⁡ n ⩾ 1 inf ⁡ k ⩾ n { A k } = ⋃ n ⩾ 1 ⋂ k ⩾ n A k = { x : ∃ n ⩾ 1 , s . t . ∀ k ⩾ n , x ∈ A k } \begin{aligned} \varlimsup_{n\to\infty}A_n &=\limsup\limits_{n\to\infty}A_n =\inf\limits_{n\geqslant 1}\sup\limits_{k\geqslant n}\{A_k\} \\&={\color{blue}\bigcap_{\color{tan}n\geqslant 1}}{\color{red}\bigcup_{\color{green}k\geqslant n}{\color{brown}A_k}} \\&=\{x:{\color{blue}\forall} {\color{tan}n\geqslant 1},{\color{red}\exists} {\color{green}k\geqslant n},\ \mathrm{s.t.}x\in {\color{brown}A_k}\} \\\\ \varliminf_{n\to\infty}A_n &=\liminf\limits_{n\to\infty}A_n =\sup\limits_{n\geqslant 1}\inf\limits_{k\geqslant n}\{A_k\} \\&={\color{red}\bigcup_{\color{green}n\geqslant 1}}{\color{blue}\bigcap_{\color{tan}k\geqslant n}{\color {brown}A_k}} \\&=\{x:{\color{red}\exists} {\color{green}n\geqslant 1},\mathrm{s.t.}{\color{blue}\forall} {\color{tan}k\geqslant n},x\in {\color{brown}A_k}\} \end{aligned} n→∞lim​An​n→∞lim​​An​​=n→∞limsup​An​=n⩾1inf​k⩾nsup​{Ak​}=n⩾1⋂​k⩾n⋃​Ak​={x:∀n⩾1,∃k⩾n, s.t.x∈Ak​}=n→∞liminf​An​=n⩾1sup​k⩾ninf​{Ak​}=n⩾1⋃​k⩾n⋂​Ak​={x:∃n⩾1,s.t.∀k⩾n,x∈Ak​}​

$\text{Example}$ 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域连续

1. $\epsilon -\delta$ 语言表述：
   $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,s.t.\forall x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta ):|f(x)-f(x_0)|<ϵ$$
2. 集合语言表述(邻域)：
   $$\forall V(f(x_0),\epsilon )\supset f(x_0),\exists U(x_0,\delta )\ni x,s.t.f(U)\subset V$$
   即
   $$f((x_0-\delta ,x_0+\delta ))\subset (f(x_0)-\epsilon ,f(x_0)+\epsilon )$$

1.2 集合的基数、对等

1.2.1 基数、对等

$\text{Definition}$ 对等(等势)、基数(势)

1. 若存在一个由集合 $X$ 至 $Y$ 的双射，则称 $X$ 与 $Y$ 对等(等势)，记作
   $$X\sim Y$$
   规定空集 $\Phi \sim \Phi$.

2. 若集合 $A\sim B$，则称集合 $A,B$ 的基数相同， 记作：
   $$\mathrm{Card}(A)=\mathrm{Card}(B)$$

Remark： 对等关系是一种等价关系，满足：

1. 反身性：$X\sim X$
2. 对称性：$X\sim Y\Rightarrow Y\sim X$
3. 传递性：$X\sim Y\sim Z\Rightarrow X\sim Z$

1.2.2 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理

$\text{Theorem}$ $\text{Cantor-Bernstein-Schroeder}$ 定理

设 $A,B\ne \Phi$, 若 $A\sim B$ 的一个子集，且 $B\sim A$ 的一个子集，则 $A\sim B$. 即
$$\{\begin{array}{l}\mathrm{Card}(A)⩽\mathrm{Card}(B)\\ \mathrm{Card}(A)⩾\mathrm{Card}(B)\end{array}\Rightarrow \mathrm{Card}(A)=\mathrm{Card}(B)$$

1.3 有限集、可列集、至多可列集

1.3.1 概念

$\text{Definition}$ 有限集、可列集、至多可列集

1. 有限集(有穷集)： 有限元素组成的集合；否则为无限集.
   
   

2. 可列集(可数集)： 无限集中的元素能按照某种规律排成一个序列；或者说 与自然数集 $\mathbb{N}$ 等势的无限集合；否则为不可列集.
   
   

3. 至多可列集(至多可数集)： 有限集与可列集的统称.

$\text{Theorem}$ 性质

1. 设 $A_i$ 为可列集，则 $\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i,\prod _{i=1}^n{A}_i$ 仍为可列集.

2. 设 $A_i$ 为有限集或可列集，则 $\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i$ 仍为有限集或可列集；若至少有一个 $A_i$ 为可列集，则 $\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i$ 为可列集.

3. (1) 可列集的任意无限子集仍为可列集，从而任意子集为有限集或可列集；(2) 任意无限集至少包含一个可列子集.

4. 有理数集 $\mathbb{Q}$ 为可列集，实数集 $\mathbb{R}$ 为不可列集.

1.3.2 无穷基数：阿列夫数

1. 可列集在无限集中有最小的基数，即自然数的总数，该基数称为 阿列夫零 ${\aleph }_0$
   $${\aleph }_0:=\mathrm{Card}(\mathbb{N})$$

2. 阿列夫一 ${\aleph }_1$ 对应不可列集基数，即实数集的总数
   $${\aleph }_1:=\mathrm{Card}(\mathbb{R})$$
   由于自然数集的幂集与实数集对等，故其与 ${\aleph }_0$ 有以下关系
   $${\aleph }_1=2^{{\aleph }_0}$$

---

实变函数 第一章 集合论
实变函数 第二章 点集拓扑
实变函数 第三章 测度论
实变函数 第四章 可测函数
实变函数 第五章 勒贝格积分（一）
实变函数 第五章 勒贝格积分（二）
实变函数 第五章 勒贝格积分（三）