要计算向量 $\mathbf{a}$ 在向量 $\mathbf{b}$ 上的投影，可以分为 投影长度 和 投影向量 两种情况。

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1. 投影长度

向量 $\mathbf{a}$ 在向量 $\mathbf{b}$ 上的投影长度是：

$$\text{投影长度}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{b}\Vert }$$

其中：

• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 是点乘。
• $\Vert \mathbf{b}\Vert =\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}$ 是向量 $\mathbf{b}$ 的模长。

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2. 投影向量

向量 $\mathbf{a}$ 在向量 $\mathbf{b}$ 上的投影向量是：

$$\text{投影向量}=\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2}\right)\mathbf{b}$$

其中：

• 分母 $\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2=b_1^2+b_2^2+b_3^2$ 是 $\mathbf{b}$ 的模长平方。
• $\mathbf{b}$ 是向量方向。

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3. 推导过程

几何解释

1. 投影长度是 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 的方向上的分量大小。
2. 投影向量是将投影长度重新沿 $\mathbf{b}$ 的方向进行缩放，得到在 $\mathbf{b}$ 方向上的向量。

利用点乘公式：

点乘定义：

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert \cos \theta$$

而投影长度是：

$$\text{投影长度}=\Vert \mathbf{a}\Vert \cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{b}\Vert }$$

为了得到投影向量，我们需要将投影长度乘以 $\mathbf{b}$ 的单位向量：

$$\text{投影向量}=\text{投影长度}\cdot \frac{\mathbf{b}}{\Vert \mathbf{b}\Vert }$$

整理得到：

$$\text{投影向量}=\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2}\right)\mathbf{b}$$

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4. 示例计算

已知：

$\mathbf{a}=(3,4,0)$，$\mathbf{b}=(1,2,2)$

1. 计算 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$：

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3\cdot 1+4\cdot 2+0\cdot 2=3+8+0=11$$

2. 计算 $\Vert \mathbf{b}\Vert$：

$$\Vert \mathbf{b}\Vert =\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

3. 投影长度：

$$\text{投影长度}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{b}\Vert }=\frac{11}{3}\approx 3.67$$

4. 投影向量：

$$\text{投影向量}=\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2}\right)\mathbf{b}$$

$$\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2=3^2=9$$

$$\text{投影向量}=\left(\frac{11}{9}\right)(1,2,2)=\left(\frac{11}{9},\frac{22}{9},\frac{22}{9}\right)$$

$$\text{投影向量}=\left(1.22,2.44,2.44\right)$$

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总结

• 投影长度：$\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{b}\Vert }$
• 投影向量：$\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2}\right)\mathbf{b}$

这两个公式可以帮助计算投影的大小和方向。