流体的一维定常流动------喷口流动计算

一、 基本方程

1. 连续性方程

由于气体的密度在流动中可能发生变化，所以它的连续性方程不能像不可压缩流体那样按体积流量来计算，而需要用质量流量来计算，即气体在流管中流动时，每单位时间内流过等截面流管中任意两个有效断面的质量流量必定相同，即：
$$\rho v=c（1）$$

对上式微分，可得连续性微分方程：
$$\frac{d\rho }{\rho }+\frac{dv}{v}=0（2）$$

若不等截面：
$$\frac{d\rho }{\rho }+\frac{dv}{v}+\frac{dA}{A}=0（3）$$

2. 运动微分方程

由伯努利微分方程：

$$\frac{dp}{\rho }+d(\frac{v^2}{2})=0（4）$$

对其进行积分：
$$\int \frac{dp}{\rho }+\frac{v^2}{2}=c（5）$$

通常气体的密度不是常数，而是压强和温度的函数，积分上式需要补充热力过程方程和气体状态方程。即单位质量流体所具有的内能、压力能与动能之和保持不变。可压缩流体密度不是常数，而是压强和密度的函数。

二、 热力过程

1. 定容过程

定容过程是指比容保持不变的热力过程。所谓比容是指单位质量气体所占有的容积，即密度的倒数。因此，实际上是不可压缩流体。
$$\frac{p}{\rho }+\frac{v^2}{2}=c（6）$$

方程表明沿程各断面单位质量流体具有的机械能保持不变。

2. 等温过程

等温过程是指温度不变的过程。根据理想气体状态方程$\frac{p}{\rho }=R_{g}T$，因为T=c，得出$\frac{p}{\rho }=R_{g}T=c$，将$\rho =\frac{p}{c}$带入积分公式：$\int \frac{dp}{\rho }=clnp=\frac{p}{\rho }lnp$；

将上式带入式$\int \frac{dp}{\rho }+\frac{v^2}{2}=c$得出等温过程能量方程：

$$\frac{p}{\rho }lnp+\frac{v^2}{2}=c或R_{g}Tlnp+\frac{v^2}{2}=c（7）$$

3. 绝热等熵过程

绝热过程是指与外界没有热交换的热力过程，理想气体无摩擦的绝热过程是等熵过程。

等熵方程：$\frac{p}{{\rho }^k}=c$，则$\rho =\sqrt[k]{\frac{p}{c}}$，带入积分方程：$\int \frac{dp}{\rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }$；

将上式带入式$\int \frac{dp}{\rho }+\frac{v^2}{2}=c$得出绝热过程能量方程：
$$\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{v^2}{2}=c（8）$$

需要注意的是，理想气体一维恒定等熵流动的能量方程不仅适用于可逆的绝热流动，也适用于不可逆的绝热流动。因为在绝热流动过程中，摩擦损失的存在只会导致气流中不同形式能量的重新分配，即一部分机械能不可逆地转化为热能，而绝热流动中的总能量始终保持不变，因而能量方程的形式不变。

三、 滞止参数

设想气流某断面的流速以无摩擦绝热过程降低至零时，断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。在实际工程上，为了分析和计算流动问题方便起见，常使用滞止参数这个概念，而且由于它比较容易测量，所以滞止参数得到了广泛的应用，滞止参数分别以$p_0$、${\rho }_0$、$T_0$、$a_0$表示之。气体绕过一个物体时，在驻点处气流受到阻滞，速度等于零，这一点的气流状态也是滞止状态。滞止参数在整个流动过程中保持不变。

按滞止参数的定义由绝热过程能量方程式便可得到某一断面的运动参数和滞止参数之间的关系。
$$\frac{k}{k-1}\frac{p_0}{{\rho }_0}=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{v^2}{2}（9）$$

$$\frac{k}{k-1}R{T}_0=\frac{k}{k-1}RT+\frac{v^2}{2}（10）$$

或以滞止音速$a_0=\sqrt{K{R}_g{T}_0}$和当地音速$a=\sqrt{K{R}_{g}T}$表示：

$$\frac{a_0^2}{k-1}=\frac{a^2}{k-1}+\frac{v^2}{2}（11）$$

可将滞止参数与运动参数之比，表示为马赫数函数。
由式（10）：
$$\frac{T_0}{T}=1+\frac{k-1}{2}\frac{v^2}{k{R}_{g}T}=1+\frac{k-1}{2}\frac{v^2}{a^2}=1+\frac{k-1}{2}{M}^2（12）$$

同理根据等熵过程可导出：
$$\frac{p_0}{p}={(\frac{T_0}{T})}^{\frac{k}{k-1}}={(1+\frac{k-1}{2}{M}^2)}^{\frac{k}{k-1}}（13）$$

$$\frac{{\rho }_0}{\rho }={(\frac{T_0}{T})}^{\frac{1}{k-1}}={(1+\frac{k-1}{2}{M}^2)}^{\frac{1}{k-1}}（14）$$

$$\frac{a_0}{a}={(\frac{T_0}{T})}^{\frac{1}{2}}={(1+\frac{k-1}{2}{M}^2)}^{\frac{1}{2}}（15）$$

上诉为等熵流的最重要的关系式，称为气体动力学函数。在已知滞止参数的情况下，可利用上述各式由气流的马赫数求出相应的各物理参数，也可用于由已知参数求滞止参数。

四、 喷管的等熵流动

由质量守恒可知，要使气流加速，当流速尚未达到当地声速时，喷管断面应逐渐收缩，直至流速达到当地声速时，断面收缩到最小值，这种喷管称为渐缩喷管。渐缩喷管出口处的流速最大只能达到当地声速。要使气流从亚声速加速到超声速，必须将喷管做成先逐渐收缩而后逐渐扩大形（在最小断面处流速达到当地声速），这种喷管称为缩放喷管，又称为拉伐尔喷管。

1.流动参数随断面积的关系

由运动微分方程$\frac{dp}{\rho }+vdv=0$及音速方程$a=\sqrt{\frac{dp}{\rho }}$得到关系式：
$$vdv=-\frac{dp}{\rho }=\frac{dp}{d\rho }\frac{d\rho }{\rho }=-a^2\frac{d\rho }{\rho }$$

则：
$$\frac{d\rho }{\rho }=-\frac{vdv}{a^2}=-M^2\frac{dv}{v}（16）$$

将式（16）代入过程方程$\frac{p}{{\rho }^k}=c$的微分式，整理得：
$$\frac{dp}{p}=k\frac{d\rho }{\rho }=-{kM}^2\frac{dv}{v}（17）$$

将式（15）、（16）代入$\frac{dp}{p}=\frac{d\rho }{\rho }+\frac{dT}{T}$中得：
$$\frac{dT}{T}=-{(k-1)M}^2\frac{dv}{v}（18）$$

因此气体速度v的变化，总是与参数$\rho$、p、T的变化相反，如v沿程增加，$\rho$、p、T必减小，反之亦然。

最后，为分析流动参数随断面积变化的关系，将式（16）带入连续性方程式$\frac{d\rho }{\rho }+\frac{dv}{v}+\frac{dA}{A}=0$，整理得：

$$\frac{dv}{v}=\frac{1}{M^2-1}\frac{dA}{A}（19）$$

将上式分别带入式（16）、（17）、（18）得到：
$$\frac{d\rho }{\rho }=-\frac{M^2}{M^2-1}\frac{dA}{A}（20）$$

$$\frac{dp}{p}=-k\frac{M^2}{M^2-1}\frac{dA}{A}（21）$$

$$\frac{dT}{T}=-(k-1)\frac{M^2}{M^2-1}\frac{dA}{A}（22）$$

由式（19）可得出以下结论：

（1）亚声速气流（M<1）

此时${(M}^2-1)>0$，dA与dv异号，即通道截面积沿程减小，速度将沿程增大；通道截面积沿程增加，速度将沿程减小。由此，亚声速气流的速度随通道截面积变化的趋势与不可压缩流动是一致的，但在量的关系上却不相同。不可压缩流体的速度与通道截面积成反比，而亚声速气流，${(1-M}^2)<1$，速度绝对值的相对变化大于通道截面积的相对变化，M愈接近1，两者差别愈大。所以在高速的亚声速气流中，通道截面积的微小变化就会导致速度很大的变化。

（2）超声速气流（M>1）

此时${(M}^2-1)<0$，dA与dv同号，即通道截面积沿程减小，速度将沿程减小；通道截面积沿程增加，速度将沿程增大。由此，超声速气流的速度随通道截面积变化的趋势与亚声速流动的情况正好相反。现通过分析式（20）来认识产生这种现象的原因，因M>1，dA与$d\rho$异号，且$\frac{M^2-1}{M^2}<1$，说明通道截面积若沿程减小，密度将沿程增大，且密度的相对增大值大于通道截面积的相对减小值。根据连续性方程式$\rho vA=c$，速度只能沿程减小。同理，通道截面积若沿程增大，超声速气流的速度将沿程增大。

（3）声速气流（M=1）

此时${(1-M}^2)=0$，$dA=0$，说明声速只能出现在管道的最大或最小断面处。当通道截面积沿程增大时，亚声速气流的速度将沿程减小，在最大断面处不可能达到声速；超声速气流的速度将沿程增大，最大断面处也不可能达到声速。因此，声速流动不可能出现在最大断面处。然而，当通道截面积沿程减小时，亚声速气流的速度将沿程增大，在最小断面处流速达到最大值，在一定的条件下该最大值可能达到声速；超声速气流的速度将沿程减小，在最小断面处流动达到最小值，在一定的条件下该最小值也可能达到声速。因此，声速流动只可能出现在最小断面处。

由以上讨论可知，亚声速气流通过收缩管段是不可能达到超声速的，要想获得超声速流动必须使亚声速气流先通过收缩管段并在最小断面处达到声速，然后再在扩张管段中继续加速到超声速。

五、 通过喷管的流量

大容器内的气体经收缩喷管流出，容器内的气体可认为速度$v_0=0$，处于滞止状态，已知各向参数分别记作${\rho }_0$、$p_0$、$T_0$，喷管出口断面积$A_2$，外界环境压强$p_b$。由式（8）、绝热等熵方程$\frac{p}{{\rho }^k}=c$可以求出收缩喷管出口流速$v_2$：

$$v_2=\sqrt{\frac{2k}{k-1}\frac{p_0}{{\rho }_0}\left[1-{(\frac{p_2}{p_0})}^{\frac{k-1}{k}}\right]}（23）$$

或：

$$v_2=\sqrt{\frac{2k{R}_g{T}_0}{k-1}\left[1-{(\frac{p_2}{p_0})}^{\frac{k-1}{k}}\right]}（24）$$

临界截面上流速$v_{cr}$计算如下：
$$v_{cr}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}\frac{p_0}{{\rho }_0}\left[1-{(\frac{p_{cr}}{p_0})}^{\frac{k-1}{k}}\right]}$$

在临界截面上，气流速度等于当地声速$v_{cr}=\sqrt{k\frac{p_{cr}}{{\rho }_{cr}}}$，故可得：
$$\frac{2k}{k-1}\frac{p_0}{{\rho }_0}\left[1-{(\frac{p_{cr}}{p_0})}^{\frac{k-1}{k}}\right]=k\frac{p_{cr}}{{\rho }_{cr}}$$

将绝热等熵方程$\frac{p}{{\rho }^k}=c$代入得：
$$\frac{2k}{k-1}\frac{p_0}{{\rho }_0}\left[1-{(\frac{p_{cr}}{p_0})}^{\frac{k-1}{k}}\right]=k\frac{p_0}{{\rho }_0}{(\frac{p_{cr}}{p_0})}^{\frac{k-1}{k}}$$

式中$\frac{p_{cr}}{p_0}$称为临界压力比，常用${\nu }_{cr}$表示，是流速达到当地声速时工质得压力与滞止压力之比。可得：
$$\frac{2}{k-1}(1-{\nu }_{cr}^{\frac{k-1}{k}})={\nu }_{cr}^{\frac{k-1}{k}}$$

简化后可得：

$$\frac{p_{cr}}{p_0}={\nu }_{cr}={(\frac{2}{k+1})}^{\frac{k}{k-1}}（25）$$

临界压力比是分析管内流动的一个非常重要的数值，截面上工质的压力与滞止压力之比等于临界压力比是气流速度从亚声速到超声速的转折点。从式（23）可知，临界压力比仅与工质性质有关。对于理想气体，如取定值比热容，则双原子气体k=1.4，${\nu }_{cr}=0.528$。

上面这些分析原则上只适用于定比热容的理想气体可逆绝热流动，因推导中曾利用$\frac{p}{\rho }=R_{g}T$和$\frac{p}{{\rho }^k}=c$等这类仅适用于理想气体的关系式；但也可用于分析理想气体变比热容的情况，只是其中k值应按过程的温度变化范围取平均值；有时也用于分析水蒸气的可逆绝热流动，不过此时式中k值不再具有$\frac{c_p}{c_v}$的意义,而纯为一经验数据；对于过热蒸汽,取k=1.3，${\nu }_{cr}=0.546$，干饱和蒸汽,取k=1.135，${\nu }_{cr}=0.577$。

将式（25）代入式（24），整理可得：
$$v_{cr}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}\frac{p_0}{{\rho }_0}}（26）$$

对于理想气体进一步可得：
$$v_{cr}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}{R}_g{T}_0}（27）$$

由于滞止参数由初态参数确定，故而临界流速值决定于进口截面上的初始参数，对于理想气体仅决定于滞止温度。

根据气体稳定流动的连续性方程，气体通过喷管任何截面的质量流量都是相同的。因此，无论按哪一个截面计算流量，所得的结果都应该一样。但是各种形式喷管的流量大小都受其最小截面制约，所以常常按最小截面（即收缩喷管的出口截面，缩放喷管的喉部截面）来计算流量，即：

$$q_m=A_2{v}_2{\rho }_0或q_m=A_{cr}{v}_{cr}{\rho }_{cr}$$

化简并整理后得：

$$q_m=A_2\sqrt{\frac{2k}{k-1}{p}_0{\rho }_0\left[{(\frac{p_2}{p_0})}^{\frac{2}{k}}-{(\frac{p_2}{p_0})}^{\frac{k+1}{k}}\right]}（28）$$

对于收缩喷管，当背压$p_b$（喷管出口截面外压力）从大于临界压力$p_{cr}$逐渐降低时，出口截面上压力$p_2$也逐渐下降且数值上与$p_b$相等，而$q_m$则逐渐增大；到$p_b={\nu }_{cr}{p}_0$，即背压等于临界压力时，$p_2$仍等于$p_b$，$q_m$达到最大值。若$p_b$继续下降，$p_2$不随之下降，仍维持等于$p_b$，$q_m$也保持不变。因为若气流继续膨胀，气流的速度要增至超声速，气流的截面要逐渐扩大,而渐缩喷管不能提供气流展开所需的空间，故气流在渐缩喷管中只能膨胀到$p_2=p_b$为止，出口截面上流速也只能达到当地声速$v_{cr}=\sqrt{\frac{2k}{k+1}\frac{p_0}{{\rho }_0}}$。故而流量$q_m$维持达临界时的值不变。将此时之压比，即临界压力比代入式（28）,得：

$$q_{m,max}=A_2\sqrt{\frac{2k}{k+1}{p}_0{\rho }_0{(\frac{2}{k+1})}^{\frac{2}{k-1}}}（29）$$

如喷管为缩放喷管，其正常工作条件下$p_2<p_{cr}$，在喷管最小截面处压力为$p_{cr}$，流速为当地声速$v_{cr}$。尽管在喷管最小截面以后，气流速度达超声速，喷管截面积扩大，但据质量守恒原理其截面上质流量与最小截面处相等。降低背压最小截面处压力及流速不变，所以虽然出口截面压力下降，出口流速也增大，出口截面积需增大，但流量保持不变。但若出口截面$A_2$是定值，随$p_2$降低，减小喉部流通面积，就会出现流量减小。

在给定条件下进行喷管的设计，首先需要确定喷管的几何形状，然后再按照给定的流量计算截面的尺寸。其目的是使喷管的外形和截面尺寸完全符合气流在可逆膨胀中体积变化的需要，保证气流得到充分膨胀，尽可能减少不可逆损失。

对于缩放喷嘴扩展部分长度通常依经验而定，如选过短，则气流扩张过快，易引起扰动增加内部摩擦损失；如选过长，则气流与壁面摩擦损失增加，也不利，通常取顶锥角$\varphi$在$10^{\circ }\sim 12^{\circ }$之间，并有:

$$l=\frac{d_2-d_{min}}{2tan\frac{\varphi }{2}}（30）$$