柯西-施瓦茨不等式其实是有四种不同的形式的，如果只知道其中一种，看论文的时候肯定会陷入迷惑，下面我们来看看柯西-施瓦茨不等式的四种形式：

一，在实数域中

设$a_i,b_i\in R(i=1,2,..,n)$，则
$$(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{)}^2\le \sum _{i=1}^n{a}_i^2\sum _{i=1}^n{b}_i^2$$

当且仅当 $\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=...=\frac{b_n}{a_n}$ 不等式符号成立

二，在n维欧氏空间

对于欧式空间中任意向量 $\alpha ,\beta$ 有
$$(\alpha ,\beta {)}^2\le (\alpha ,\alpha )(\beta ,\beta )$$

其中定义 $(\alpha ,\beta )$ 是向量 $\alpha ,\beta$ 的内积

当且仅当 $\alpha ,\beta$ 线性相关时，等号才成立

三，在数学分析中

积分：

设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则
$$[{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx{]}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx{\int }_a^b{g}^2(x)dx$$

级数：

若级数 $\sum a_n^2$ 和 $\sum b_n^2$ 收敛，则级数 $\sum a_n{b}_n$ 收敛，且
$$(\sum a_n{b}_n{)}^2\le \sum a_n^2\sum b_n^2$$

四，概率空间中

设 $\xi ,\eta$ 为任意随机变量，若 $E({\xi }^2),E({\eta }^2)$ 存在，则 $E(\xi \eta )$ 也存在

且 $$[E(\xi \eta ){]}^2\le E({\xi }^2)E({\eta }^2)$$
等号成立当且仅当存在常数 $t_0$，使得
P{η=t0ξ}=1P\{\eta=t_0\xi\}=1P{η=t0​ξ}=1