概述

Adam算法结合了动量法（Momentum）和RMSProp的思想，能够自适应调整每个参数的学习率。通过动态调整每个参数的学习率，在非平稳目标（如深度神经网络的损失函数）中表现优异

目录

1. 基本原理和公式
2. 笼统说明：为什么Adam算法可以帮助模型找到更好的参数

基本概念

• 动量（Momentum）：跟踪梯度的指数衰减平均（一阶矩），加速收敛并减少震荡。
• 自适应学习率：跟踪梯度平方的指数衰减平均（二阶矩），调整不同参数的学习率。
  设模型参数为 $\theta$，损失函数为 $J(\theta )$，梯度为 $g_t={\nabla }_{\theta }J({\theta }_t)$。Adam 的更新步骤如下：

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步骤 1：计算一阶矩（动量）

$$m_t={\beta }_1\cdot m_{t-1}+(1-{\beta }_1)\cdot g_t$$

• 含义：对梯度做指数移动平均（EMA），保留历史梯度方向的信息。
• 作用：缓解梯度震荡，加速收敛（类似物理中的动量）。
• 超参数：${\beta }_1$（通常设为 0.9），控制历史梯度的衰减速度。

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步骤 2：计算二阶矩（自适应学习率）

$$v_t={\beta }_2\cdot v_{t-1}+(1-{\beta }_2)\cdot g_t^2$$

• 含义：对梯度平方做指数移动平均，反映梯度的变化幅度。
• 作用：对频繁更新的参数减小学习率，对稀疏参数增大学习率。
• 超参数：${\beta }_2$（通常设为 0.999），控制梯度平方的衰减速度。

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步骤 3：偏差修正（Bias Correction）

由于初始时刻 $m_0=0,v_0=0$，早期估计会偏向于零。Adam 通过以下修正消除偏差：
$${\hat{m}}_t=\frac{m_t}{1-{\beta }_1^t},{\hat{v}}_t=\frac{v_t}{1-{\beta }_2^t}$$

• 含义：随着时间步 (t) 增大，分母 $1-{\beta }^t$逐渐趋近于 1，修正早期估计的偏差。
• 作用：确保训练初期（$t$ 较小时）的更新量不会过小。

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步骤 4：参数更新

$${\theta }_{t+1}={\theta }_t-\alpha \cdot \frac{{\hat{m}}_t}{\sqrt{{\hat{v}}_t}+ϵ}$$

• 含义：用修正后的动量 ${\hat{m}}_t$除以修正后的梯度平方根$\sqrt{{\hat{v}}_t}$，再乘以学习率 $\alpha$。
• 作用：
  • ${\hat{m}}_t$：提供稳定的更新方向（类似动量）。
  • $\frac{1}{\sqrt{{\hat{v}}_t}+ϵ}$：自适应调整学习率，抑制梯度变化大的参数的学习率。
• 超参数：
  • $\alpha$：基础学习率（通常需手动调节）。
  • $ϵ$：极小值（如 $10^{-8}$），防止除以零。

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为什么 Adam 能帮助模型找到更好的参数？

Adam 的有效性源于以下设计：

1. 自适应学习率

• 对每个参数独立调整学习率：梯度大的参数学习率小，梯度小的参数学习率大。
• 优势：处理稀疏梯度（如 NLP 任务）时效果显著，避免手动调节学习率的麻烦。

2. 动量机制

• 通过一阶矩 $m_t$ 保留历史梯度方向，加速收敛并减少震荡。
• 优势：在梯度方向变化剧烈时（如鞍点附近），动量帮助参数快速通过平缓区域。

3. 偏差修正

• 修正早期估计的偏差，避免训练初期更新量过小。
• 优势：提升训练稳定性，尤其在前几个 epoch 中。

4. 鲁棒性

• 对超参数选择相对鲁棒（如 ${\beta }_1,{\beta }_2$通常固定为 0.9 和 0.999）。
• 优势：广泛适用于不同任务（CV、NLP 等），减少调参成本。