本文归纳常见的常微分方程的一般解法。

如果没有出现意外，本文将不包含解法的推导过程。

常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：

1. 可分离变量的微分方程（一阶）
2. 一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利
3. 二阶常系数微分方程（二阶）
4. 高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉

1.可分离变量的微分方程（一阶）

这类微分方程可以变形成如下形式：

$f(x)dx=g(y)dy$

两边同时积分即可解出函数，难度主要在于不定积分，是最简单的微分方程。

p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）

形如

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

的方程叫做一阶线性微分方程，若$Q(x)$为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法：直接套公式：

$y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx+C)$

多套几遍熟练就好。

伯努利方程

形如

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n,n\in \mathbb{R},n\ne 1$

的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：

$y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$

$\frac{1}{1-n}\cdot \frac{d{y}^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$

令$y^{1-n}=u$，方程两边同时乘以$1-n$，得到

$\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$

即$\frac{du}{dx}+P^{\prime }(x)u=Q^{\prime }(x)$

这是可以套公式的一阶线性微分方程。

3.二阶常系数微分方程（二阶）

形如

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

的方程称为二阶常系数微分方程，若$f(x)\equiv 0$，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

1. 求出齐次通解
2. 求出非齐次特解

方程的解就是齐次通解和非齐次特解的和。

齐次通解的求法

首先假设$f(x)\equiv 0$.

用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解：

$r^2+pr+q=0$

解的情况分为以下三种：

情况一：方程有两个不同的实数解

假设两个实数解分别是$r_1、r_2$，

此时方程的通解是

$Y(x)=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$.

情况二：方程有一个二重解

假设该解等于$r$，

此时方程的通解是

$Y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$.

情况三：方程有一对共轭复解

假设这对解是$\alpha \pm i\beta$

此时方程的通解是

$Y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))$

非齐次特解的求法

对于$f(x)$和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：

1.$f(x)=P_m(x)$，其中$P_m(x)$表示$x$的最高次数为m的多项式。

若0不是方程特征解

则方程有特解$y^{\ast }=Q_m(x)$

若0是方程的单特征解

则方程有特解$y^{\ast }=x{Q}_m(x)$

若0是方程的二重特征解

则方程有特解$y^{\ast }=x^2{Q}_m(x)$.

其中，$Q_m(x)=b_0+b_{1}x+\dots \dots +b_m{x}^m$，

$b_i(i=0,1,\dots \dots m)$是需要带回原方程来确定的系数。

2.$f(x)=e^{\alpha x}{P}_m(x)$.

若$\alpha$不是方程特征解

则方程有特解$y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_m(x)$

若$\alpha$是方程的单特征解

则方程有特解$y^{\ast }=x{e}^{\alpha x}{Q}_m(x)$

若$\alpha$是方程的二重特征解

则方程有特解$y^{\ast }=x^2{e}^{\alpha x}{Q}_m(x)$.

3.$f(x)=e^{\alpha x}(a_{1}cos(\beta x)+a_{2}sin(\beta x))$

若$\alpha \pm i\beta$不是特征解

则方程有特解$y^{\ast }=e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))$

若$\alpha \pm i\beta$是特征解

则方程有特解$y^{\ast }=x{e}^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))$

其中$A_1$、$A_2$是需要带回原方程来确定的系数。

4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉

形如$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+...+p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=f(x)$

的方程叫做高阶常系数微分方程，若$f(x)\equiv 0$，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

1. 求出齐次通解
2. 求出非齐次特解

方程的解就是齐次通解和非齐次特解的和。

齐次通解的求法

使用特征方程法。首先假设$f(x)\equiv 0$.

列出特征方程并求解：

$r^n+p_1{r}^{n-1}+...+p_{n-1}r+p_n=0$

得到的解无非是以下四种情形：

1. 1重实数解
2. k重实数解
3. 一对1重共轭复数解
4. 一对k重共轭复数解

每出现一种情形的解，通解$y(x)$中就多出一项，各项之和就构成了整个通解。

根据下面的规则可以写出不同情况下的通解

1重实数解

设$\lambda$是特征方程的一个1重实数解。

则应该为它在通解中增加这样一项：

$C{e}^{\lambda x}$

k重实数解

设$\lambda$是特征方程的一个k重实数解。

则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是k项）：

$e^{\lambda x}(C_1+C_{2}x+...+C_k{x}^{k-1})$

一对1重共轭复数解

设$\alpha \pm i\beta$是特征方程的一对1重共轭复数解。

则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是2项）：

$e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))$

一对k重共轭复数解

设$\alpha \pm i\beta$是特征方程的一对k重共轭复数解。

则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是2k项）：

$e^{\alpha x}[(C_1+C_{2}x+...+C_k{x}^{k-1})cos(\beta x)+$

$(D_1+D_{2}x+...+D_k{x}^{k-1})sin(\beta x)]$

当你为每一个特征方程的解写出对应的项后，把他们加起来，就得到齐次方程的通解了。

非齐次特解的求法

1.$f(x)=P_m(x)$，其中$P_m(x)$表示$x$的最高次数为m的多项式。

若0不是方程特征解

则方程有特解$y^{\ast }=Q_m(x)$

若0是方程的k重特征解

则方程有特解$y^{\ast }=x^k{Q}_m(x)$

其中，$Q_m(x)=b_0+b_{1}x+\dots \dots +b_m{x}^m$，

$b_i(i=0,1,\dots \dots m)$是需要带回原方程来确定的系数。

2.$f(x)=e^{\alpha x}{P}_m(x)$.

若$\alpha$不是方程特征解

则方程有特解$y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_m(x)$

若$\alpha$是方程的k重特征解

则方程有特解$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}{Q}_m(x)$.

3.$f(x)=e^{\alpha x}(a_{1}cos(\beta x)+a_{2}sin(\beta x))$

若$\alpha \pm i\beta$不是特征解

则方程有特解$y^{\ast }=e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))$

若$\alpha \pm i\beta$是k重特征解

则方程有特解$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))$

其中$A_1$、$A_2$是需要带回原方程来确定的系数。

欧拉方程

形如

$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...+p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=f(x)$

的方程叫做欧拉方程，它可以变形成常系数微分方程。

变形过程如下：

做变换：$x=e^t$, 或$t=ln(x)$

于是

$\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{x^2}(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt})$

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=\frac{1}{x^3}(\frac{d^{3}y}{d{t}^3}-3\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\frac{dy}{dt})$

……

记$D^{k}y=\frac{d^{k}y}{d{t}^k}$

则$x{y}^{\prime }=Dy$

$x^2{y}^{\prime \prime }=D(D-1)y$

$x^3{y}^{(3)}=D(D-1)(D-2)y$

…

一般的，$x^k{y}^{(k)}=D(D-1)...(D-k+1)y$.

这样，欧拉方程就是关于$y$和$t$的常系数微分方程。

解出$y$后，将$t=ln(x)$带入即得$y(x)$.

如有错误欢迎指出。