部分分式展开

部分分式展开的步骤主要为：

1. 判断有理分式是否为假分式，若是则将其化为真分式。

有理分式
$$F(x)=\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots b_1{x}^1+b_0{x}^0}{x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots a_1{x}^1+a_0{x}^0}$$
若分子 $N(x)$ 的最高次幂大于等于分母 $D(x)$ 的最高次幂，则 $F(x)$ 为假分式。
【例】
$$\begin{array}{rl}F(x)& =\frac{2x^4+3x^3+x^2+2x}{x^2+4x+3}\\ & =2x^2-5x+15-\frac{43x+45}{x^2+4x+3}\end{array}$$

2. 假设 $F(x)$ 是假分式，对分母 $D(x)$ 进行因式分解，因子可分为3中情况：单根，重根，复根。

• 单根

  $$\begin{array}{rl}F(x)& =\frac{N(x)}{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)}\\ & =\frac{k_1}{x-x_1}+\frac{k_2}{x-x_2}+\cdots \frac{k_n}{x-x_n}\end{array}$$

  其中，$k_i=F(x)(x-x_i){|}_{x=x_i}$。

• 重根

  $$\begin{array}{rl}F(x)& =\frac{N(x)}{(x-x_1{)}^r(x-x_{r+1})\cdots (x-x_n)}\\ & =\left[\frac{a_0}{(x-x_1{)}^r}+\frac{a_1}{(x-x_1{)}^{r-1}}+\cdots +\frac{a_{r-1}}{x-x_1}\right]+\left(\frac{k_{r+1}}{x-x_{r+1}}+\cdots +\frac{k_n}{x-x_n}\right)\end{array}$$

  其中，从分式累加的形式可以推导出各个分式的系数：

  $$\begin{array}{rl}{a}_0& =F(x)(x-x_1{)}^r{|}_{x=x_1}\\ a_1& =\frac{\mathrm{d}[F(x)(x-x_1{)}^r]}{\mathrm{d}x}{|}_{x=x_1}\\ a_2& =\frac{1}{2!}\frac{{\mathrm{d}}^2[F(x)(x-x_1{)}^r]}{{\mathrm{d}}^{2}x}{|}_{x=x_1}\\ & \cdots \\ a_{r-1}& =\frac{1}{(r-1)!}\frac{{\mathrm{d}}^{r-1}[F(x)(x-x_1{)}^r]}{{\mathrm{d}}^{r-1}x}{|}_{x=x_1}\end{array}$$

• 复根

  若分母的因子中存在复根，复根总是共轭成对出现的，因此可以当做单根来进行处理。另外就是复根的系数也是共轭对称的，即

  $$\begin{array}{rl}F(x)& =\frac{N(x)}{(x-x_1)(x-x_1^{\ast })}\\ & =\frac{k_1}{x-x_1}+\frac{k_1^{\ast }}{x-x_1^{\ast }}\end{array}$$

  为避免复根，还可以将共轭复根只分解到二次因式的形式，如

  $$\begin{array}{rl}F(x)& =\frac{N(x)}{[(x+a{)}^2+b^2](x-x_3)}\\ & =\frac{Ax+B}{(x+a{)}^2+b^2}+\frac{k_3}{x-x_3}\end{array}$$

  其中，单根的系数 $k_3$ 求法同上。
  对于二次因式的系数，求法需要一定的技巧性，
  如上式中，求解出 $k_3$ 后，令 $x=0$，得 $F(0)=\frac{B}{b^2}-\frac{k_3}{x_3}$ 求解出的 $B$，再令 $x=+\infty$，求解出 $A$。

【例题】

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{x^2}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{(x-1{)}^2+2x-1}{(x-1{)}^2}\\ & =1+\frac{2x-1}{(x-1{)}^2}\\ & =1+\frac{A}{(x-1{)}^2}+\frac{B}{x-1}\\ A& =(2x-1){|}_{x=1}=1,\\ B& =\frac{d(2x-1)}{dx}{|}_{x=1}=2\\ f(x)& =1+\frac{1}{(x-1{)}^2}+\frac{2}{x-1}\end{array}$$